Sahlqvistin kaavat
LUUKKONEN, HEIDI (2013)
2013
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2013-03-26
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-23597
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-23597
Tiivistelmä
Tässä pro gradu -tutkielmassa tutustutaan Henrik Sahlqvistin esittelemiin Sahlqvistin kaavoihin. Sahlqvistin kaavat ovat esimerkkejä sellaisista modaalilogiikan kaavoista, joilla on aina predikaattilogiikassa korrespondentti. Aihetta tarkastellaan perusmodaalilogiikan näkökulmasta.
Tutkielman aluksi luvussa 2 käsitellään modaalilogiikan perusteita, sen syntaksia ja semantiikkaa, pohjatietona tutkielman varsinaiseen aiheeseen. Tässä luvussa määritellään modaalilogiikan kieli sekä modaalilogiikan malli ja kehys. Lisäksi tarkastellaan modaalilogiikan kaavan validisuutta mallissa ja kehyksessä. Luvussa 3 käsitellään korrespondenssiteoriaa, joka tarkastelee riittäviä ehtoja sille, että modaalilogiikan kaavalla on predikaattilogiikassa korrespondentti. Tarkastelu tapahtuu kehystasolla. Luvussa käsitellään muun muassa kehysmääriteltävyyttä ja esitetään joitakin esimerkkejä sellaisista modaalisesti määriteltävistä kehysluokista, jotka ovat määriteltävissä myös predikaattilogiikassa.
Luvun 4 aluksi määritellään vielä käsitteitä, jotka ovat tarpeellisia Sahlqvistin kaavojen tarkastelussa. Ensin määritellään positiivinen ja negatiivinen kaava, ja tämän jälkeen tarkastellaan modaalilogiikan kaavan kasvamista ja vähenemistä. Lisäksi tutustutaan kahteen eri kaavajoukkoon, uniformisiin ja suljettuihin kaavoihin. Nämä kaavat ovat sellaisia modaalilogiikan kaavoja, joilla on aina predikaattilogiikassa korrespondentti.
Sahlqvistin kaavojen tarkastelu jaetaan kolmeen osaan. Ensin tarkastellaan todella yksinkertaisia Sahlqvistin kaavoja, jonka jälkeen tarkastelu laajennetaan yksinkertaisiin Sahlqvistin kaavoihin ja lopuksi Sahlqvistin kaavoihin. Kaikki nämä kaavat määritellään ja niistä annetaan myös esimerkkejä. Lisäksi luonnostellaan todistusta sille, että todella yksinkertaisella Sahlqvistin kaavalla on predikaattilogiikassa korrespondentti. Yksinkertaisten Sahlqvistin kaavojen ja Sahlqvistin kaavojen tapauksessa tämä todistetaan vastaavasti. Tutkielman lopuksi todetaan, ettei ole olemassa sellaista menetelmää, jolla voitaisiin selvittää, onko mielivaltaisella modaalilogiikan kaavalla predikaattilogiikassa korrespondentti. Tämä ratkeamaton ongelma tunnetaan Chagrovan lauseena.
Tutkielman päälähdeteoksena on ollut kirja Modal logic (Blackburn, de Rijke, Venema).
Asiasanat: Sahlqvistin kaavat, modaalilogiikka, korrespondenssiteoria
Tutkielman aluksi luvussa 2 käsitellään modaalilogiikan perusteita, sen syntaksia ja semantiikkaa, pohjatietona tutkielman varsinaiseen aiheeseen. Tässä luvussa määritellään modaalilogiikan kieli sekä modaalilogiikan malli ja kehys. Lisäksi tarkastellaan modaalilogiikan kaavan validisuutta mallissa ja kehyksessä. Luvussa 3 käsitellään korrespondenssiteoriaa, joka tarkastelee riittäviä ehtoja sille, että modaalilogiikan kaavalla on predikaattilogiikassa korrespondentti. Tarkastelu tapahtuu kehystasolla. Luvussa käsitellään muun muassa kehysmääriteltävyyttä ja esitetään joitakin esimerkkejä sellaisista modaalisesti määriteltävistä kehysluokista, jotka ovat määriteltävissä myös predikaattilogiikassa.
Luvun 4 aluksi määritellään vielä käsitteitä, jotka ovat tarpeellisia Sahlqvistin kaavojen tarkastelussa. Ensin määritellään positiivinen ja negatiivinen kaava, ja tämän jälkeen tarkastellaan modaalilogiikan kaavan kasvamista ja vähenemistä. Lisäksi tutustutaan kahteen eri kaavajoukkoon, uniformisiin ja suljettuihin kaavoihin. Nämä kaavat ovat sellaisia modaalilogiikan kaavoja, joilla on aina predikaattilogiikassa korrespondentti.
Sahlqvistin kaavojen tarkastelu jaetaan kolmeen osaan. Ensin tarkastellaan todella yksinkertaisia Sahlqvistin kaavoja, jonka jälkeen tarkastelu laajennetaan yksinkertaisiin Sahlqvistin kaavoihin ja lopuksi Sahlqvistin kaavoihin. Kaikki nämä kaavat määritellään ja niistä annetaan myös esimerkkejä. Lisäksi luonnostellaan todistusta sille, että todella yksinkertaisella Sahlqvistin kaavalla on predikaattilogiikassa korrespondentti. Yksinkertaisten Sahlqvistin kaavojen ja Sahlqvistin kaavojen tapauksessa tämä todistetaan vastaavasti. Tutkielman lopuksi todetaan, ettei ole olemassa sellaista menetelmää, jolla voitaisiin selvittää, onko mielivaltaisella modaalilogiikan kaavalla predikaattilogiikassa korrespondentti. Tämä ratkeamaton ongelma tunnetaan Chagrovan lauseena.
Tutkielman päälähdeteoksena on ollut kirja Modal logic (Blackburn, de Rijke, Venema).
Asiasanat: Sahlqvistin kaavat, modaalilogiikka, korrespondenssiteoria