Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Abstract

Tutkielman tarkoituksena on perehdyttää lukija Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraaleihin. Erityisesti tarkastellaan Newtonin integraalin ominaisuuksia sekä yhtäläisyyttä Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraaleihin. Luvussa 2 esitellään Newtonin integraalin määritelmä sekä Newton-integroituvien funktioiden ominaisuuksia. Lisäksi esitellään Newtonin integraalin erilaisia variaatioita, joita ovat klassinen, naiivi, elementaarinen, muunneltu sekä kontrolloitu versio. Luvussa 3 perehdytään Riemannin summaan ja integraaliin sekä esitellään approksimaatiomenetelmä, jolla Riemannin summa ja Newtonin integraali ovat likimain samat. Luvussa 4 esitellään Henstock-Kurzweilin integraali, joka on kytkettävissä luvussa 3 esiteltyyn Riemannin integraalin määritelmään. Lopuksi osoitetaan, että Newtonin integraalin kontrolloitu versio ja Henstock-Kurzweilin integraali ovat ekvivalentteja.