Kompleksinen Laplace-muunnos
MÄKI, PÄIVIKKI (2012)
2012
Matematiikka/tilastotiede - Mathematics/Statistics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2012-06-04
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-23427
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-23427
Tiivistelmä
Tämä tutkielma käsittelee Laplace-muunnosta ja sen käyttöä sovelluksissa, kuten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Laplace-muunnoksen takana on yksinkertainen idea: jos annettua ongelmaa ei pystytä ratkaisemaan, voidaan se muuntaa helpommaksi. Laplace-muunnosta käytetäänkin yleisestiesimerkiksi tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen.
Tutkielman alkuosassa määritellään Laplace-muunnos ja esitellään sen perusominaisuuksia sekä muutamia erityisiä Laplace-muunnoksia. Sovellusten kannalta on tärkeää osata ratkaista Laplace-muunnoksen käänteisfunktio. Tutkielman loppuosa keskittyykin Laplace-muunnoksen käänteisfunktion löytämiseen osamurtokehitelmien avulla. Lopuksi esitellään vielä konvoluution käsite ja muutamia sen sovelluksia.
Lukijalla oletetaan olevan perus- ja aineopintotasoiset tiedot analyysista ja algebrasta. Tarvittavia tietoja ovat muun muassa epäoleellinen integraali, paloittain jatkuva funktio, osittaisintegrointi, osamurtokehitelmä sekä differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen käyttämällä integroivaa tekijää. Tutkielman päälähteenä on käytetty teosta Mathews, J., Howell, R.: Complex Analysis for Mathematics and Engineering.
Asiasanat: Laplace-muunnos, kompleksianalyysi
Tutkielman alkuosassa määritellään Laplace-muunnos ja esitellään sen perusominaisuuksia sekä muutamia erityisiä Laplace-muunnoksia. Sovellusten kannalta on tärkeää osata ratkaista Laplace-muunnoksen käänteisfunktio. Tutkielman loppuosa keskittyykin Laplace-muunnoksen käänteisfunktion löytämiseen osamurtokehitelmien avulla. Lopuksi esitellään vielä konvoluution käsite ja muutamia sen sovelluksia.
Lukijalla oletetaan olevan perus- ja aineopintotasoiset tiedot analyysista ja algebrasta. Tarvittavia tietoja ovat muun muassa epäoleellinen integraali, paloittain jatkuva funktio, osittaisintegrointi, osamurtokehitelmä sekä differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen käyttämällä integroivaa tekijää. Tutkielman päälähteenä on käytetty teosta Mathews, J., Howell, R.: Complex Analysis for Mathematics and Engineering.
Asiasanat: Laplace-muunnos, kompleksianalyysi