Puhtaan virityksen tasavireapproksimaatiot

Abstract

Tässä valinnaisten opintojen tutkielmassa tutustutaan viritysjärjestelmien rakenteellisiin ominaisuuksiin algebran ja lukuteorian avulla. Intervalli on kahden sävelkorkeuden välinen lukusuhde ja viritysjärjestelmä on joukko intervalleja. Puhtaan virityksen intervallit ovat rationaalilukuja, jotka voidaan esittää n ensimmäisen alkuluvun kokonaislukupotenssien tuloina. Tasavirityksessä peräkkäisten sävelten suhde vakioidaan jakamalla oktaavi (intervalli 2:1) tasan m osaan.Mainitut viritysjärjestelmät kuvataan täsmällisesti ryhmäteorian avulla ja osoitetaan, että niiden ominaisuuksien yhdistäminen on mahdotonta. Tämä "historiallinen viritysongelma" luo perustan tutkielman viimeiselle luvulle, missä esitetään kaksi näkökulmaa puhtaan virityksen approksimointiin tasavirityksellä. Fokkerin menetelmässä puhtaalle viritykselle muodostetaan äärellinen tekijäryhmä hävittämällä järjestelmästä hyvin pieniä intervalleja eli kommia. Erityisesti tekijäryhmän ollessa isomorfinen tasavirityksen kanssa, voidaan valittujen kommien perusteella luonnehtia tasavirityksen tapaa approksimoida puhdasta viritystä. Ketjumurtolukujen teoriaa soveltamalla löydetään tasaviritykset, jotka approksimoivat annettua puhtaan virityksen intervallia parhaiten. Menetelmien avulla voidaan esimerkiksi selittää kahdentoista sävelen tasavirityksen suosiota sekä mahdollisesti luoda uusia hyvänkuuloisia virityksiä.

Asiasanat: viritysjärjestelmät, ryhmäteoria, ketjumurtoluvut