Greenin ja Stokesin lauseet

Abstract

Tutkielma käsittelee vektoriarvoisten funktioiden integrointia. Tutkielman aluksi palautetaan mieleen, mitä ovat vektoriarvoiset funktiot, ja esitetään käyrän ja pinnan määritelmät. Tämän jälkeen käydään lyhyesti läpi sileän käyrän, sileän pinnan, suunnistetun käyrän, suunnistetun pinnan, takaisinvetosijoituksen ja differentiaalisen k-muodon määritelmät. Ennen tutkielman pääaiheen esittämistä katsotaan, miten määritetään funktion integraali yli kaksiulotteisen joukon ja määritellään viivaintegraali ja pintaintegraali.

Tutkielman pääaiheena on Greenin ja Stokesin lauseet. Molemmat lauseet väittävät, että

\oint \limits_ {\partial \vec{S}} \omega =\iint \limits_ { \vec{S}} d \omega,

missä \omega on differentiaalinen 1-muoto ja \vec{S} on suunnistettu kaksiulotteinen joukko. Lauseet eroavat ainoastaan ympäröivän avaruuden osalta. Greenin lausetta tarkastellaan kolmessa eri tapauksessa ja Stokesin lausetta kahdessa eri tapauksessa. Lauseille esitetään todistukset kussakin tapauksessa.

Lukijalta oletetaan differentiaali- ja integraalilaskennan perusosaamista sekä vektoreiden laskutoimitusten hallintaa.

Päälähteenä tutkielmassa käytetään James Callahanin kirjaa Advanced Calculus: A Geometric View.

Asiasanat:Greenin lause, Stokesin lause, vektoriarvoisten funktioiden integrointi