Laplace-muunnoksesta ja sen sovelluksista

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on perehdyttää lukija Laplace-muunnokseen ja sen moniin erilaisiin sovelluksiin. Laplace-muunnos muuntaa tavallisen differentiaaliyhtälön perusalgebralliseksi lausekkeeksi ja siksi se onkin tehokas menetelmä ratkaista esimerkiksi differentiaaliyhtälöitä. Tutkielman ensimmäisessä luvussa määritellään Laplace-muunnos ja esitellään sen perusominaisuuksia, mm. sen lineaarisuus ja käänteisyys. Tutkielman toisessa luvussa esitellään tarkemmin Laplace-muunnoksen eri sovelluksia. Tarkoituksena on siis laajentaa Laplace-muunnoksen käyttöaluetta ja toisessa luvussa käsitellään gamma-funktio, äärettömät sarjat, jaksolliset funktiot, funktion derivaatan Laplace-muunnos, Laplace-muunnoksen käyttäytyminen ensimmäisen ja toisen asteen differentiaaliyhtälöiden yhteydessä sekä konvoluutio.

Lukijalta edellytetään monipuolista analyysin tuntemusta ja ymmärtämistä. Erityisesti integrointi täytyy tuntea hyvin. Tutkielmassa päälähteinä on käytetty teoksia Schiff, J.: The Laplace Transform: Theory and Applications ja Dyke, P.: An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series

Asiasanat:Laplace-muunnos, differentiaaliyhtälö