Pakottamismenetelmästä

Abstract

Pakottamismenetelmä on joukko-opillinen menetelmä, jonka kehitti yhdysvaltalainen matemaatikko Paul Cohen 1960-luvulla muun muuassa sen todistamiseksi, että kontinuumhypoteesia ei voi johtaa ZFC-aksioomista. Se osoittautui hyvin tehokkaaksi välineeksi, jonka avulla todistettiin lukuisia samantyyppisiä riippumattomuustuloksia.Tämän tutkielman tavoitteena on pakottamismenetelmän esitteleminen, johon kuuluu numeroituvan transitiivisen ZFC-mallin M laajentaminen suuremmaksi ZFC-malliksi M[G] siten, että saadun laajennuksen ominaisuuksia voidaan tutkia. Tämä onnistuu lähtemällä liikkeelle malliin M kuuluvasta osittain järjestetystä joukosta P,jota kutsumme pakotuskäsitteeksi. Osoitamme, että joukolla P on olemassa M-geneerinen filtteri G, joka ei ole välttämättä mallin M joukko, ja esittelemme keinon, jolla voimme laajentaa malli M joukon G sisältäväksi ZFC-malliksi M[G], jossa lauseiden totuusarvot määräytyvät valitun pakotuskäsitteen P mukaan. Valitsemmalla sopiva pakotuskäsite voimme siis muodostaa ZFC-mallin, jolla on halutut ominaisuudet. Tutkielmassa muodostamme ZFC-mallin, jossa kontinuumhypoteesi on epätosi,mistä seuraa, että kontinuumhypoteesia ei voi johtaa ZFC-aksioomista, jos ne ovat ristiriidattomia.Luvussa 2 esittelemme transitiivisia malleja koskevaa teoriaa ja perustelemme sen, miksi voimme olettaa, että numeroituva transtiivinen ZFC-malli on olemassa siitä huolimatta, että sen olemassaoloa ei voi todistaa (ZFC:ssä).Pakottamismenetelmän esittelyä voidaan lähestyä eri tavoin. Täman tutkielman lähestymistapa perustuu Boolen arvoisten mallien käyttöön, joita käsittelemme luvussa 3.

Asiasanat:pakottamismenetelmä, suhteellinen ristiriidattomuus, kontinuumhypoteesi, Boolen arvoiset mallit, ZFC-aksioomat