Kokonaislukujen osituksista
PÄÄKKÖNEN, SARA (2011)
2011
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2011-09-28
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-21800
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-21800
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa tarkastellaan kokonaislukujen osituksia ja niiden ominaisuuksia.
Aluksi määritellään osituksen käsite ja tarkastellaan esimerkin avulla yhden luvun osituksia. Tämän jälkeen tarkastellaan sellaisia osituksia, joissa osien kokoa tai lukumäärää on rajoitettu. Näiden ositusten ominaisuuksia tarkastellaan mm. Ferresin diagrammien avulla. Tutkielman toisessa luvussa tutustutaan lyhyesti myös itselleen transponoituviin osituksiin ja tarkastellaan Eulerin pentagonaalisten lukujen lausetta.
Tutkielman kolmannessa luvussa tutkitaan ositusfunktioiden ylä- ja alarajoja. Siinä tarkastellaan rajoitettua ositusta vastaavan ositusfunktion pk(n) alarajaa sekä rajoittamatonta ositusta vastaavan ositusfunktion p(n) ylä- ja alarajaa. Tälle alarajalle annetaan sekä melko karkea arvio että toteavaan sävyyn tarkempi, Hardy–Ramanujan -kaavaan perustuva, arvio.
Neljännessä luvussa perehdytään generoiviin funktioihin ja ositusten esittämiseen niiden avulla. Ensin määritellään generoiva funktio. Toisessa alaluvussa johdetaan lukujonon {p(n)} generoiva funktio, jonka esitys tunnetaan myös Eulerin lauseena. Samassa alaluvussa tarkastellaan myös Eulerin identiteettinä tunnettua lausetta ja todistetaan se sekä generoivien funktioiden avulla että bijektiivisesti. Viimeisessä alaluvussa etsitään vielä generoivat funktiot lukujonoille {qk(n)} ja {pk(n)}.
Tutkielman viimeisessä luvussa tutkitaan, kuinka osituksia voidaan käyttää hyväksi rationaalilukujen luetteloinnissa. Tarkastellaan sekä tiettyä positiivisista rationaaliluvuista koostuvaa jonoa että induktiivisesti määriteltyä murtolukupuuta.
Päälähteenä tutkielmassa on käytetty teosta Slomson A.: An Introduction to Combinatorics. Muita lähteitä ovat teos Andrews G.E., Eriksson K.: Integer partitions sekä verkkomateriaalit Haukkanen P.: Kombinatoriikkaa ja Wilf H.S.: Lectures on Integer Partitions.
Aluksi määritellään osituksen käsite ja tarkastellaan esimerkin avulla yhden luvun osituksia. Tämän jälkeen tarkastellaan sellaisia osituksia, joissa osien kokoa tai lukumäärää on rajoitettu. Näiden ositusten ominaisuuksia tarkastellaan mm. Ferresin diagrammien avulla. Tutkielman toisessa luvussa tutustutaan lyhyesti myös itselleen transponoituviin osituksiin ja tarkastellaan Eulerin pentagonaalisten lukujen lausetta.
Tutkielman kolmannessa luvussa tutkitaan ositusfunktioiden ylä- ja alarajoja. Siinä tarkastellaan rajoitettua ositusta vastaavan ositusfunktion pk(n) alarajaa sekä rajoittamatonta ositusta vastaavan ositusfunktion p(n) ylä- ja alarajaa. Tälle alarajalle annetaan sekä melko karkea arvio että toteavaan sävyyn tarkempi, Hardy–Ramanujan -kaavaan perustuva, arvio.
Neljännessä luvussa perehdytään generoiviin funktioihin ja ositusten esittämiseen niiden avulla. Ensin määritellään generoiva funktio. Toisessa alaluvussa johdetaan lukujonon {p(n)} generoiva funktio, jonka esitys tunnetaan myös Eulerin lauseena. Samassa alaluvussa tarkastellaan myös Eulerin identiteettinä tunnettua lausetta ja todistetaan se sekä generoivien funktioiden avulla että bijektiivisesti. Viimeisessä alaluvussa etsitään vielä generoivat funktiot lukujonoille {qk(n)} ja {pk(n)}.
Tutkielman viimeisessä luvussa tutkitaan, kuinka osituksia voidaan käyttää hyväksi rationaalilukujen luetteloinnissa. Tarkastellaan sekä tiettyä positiivisista rationaaliluvuista koostuvaa jonoa että induktiivisesti määriteltyä murtolukupuuta.
Päälähteenä tutkielmassa on käytetty teosta Slomson A.: An Introduction to Combinatorics. Muita lähteitä ovat teos Andrews G.E., Eriksson K.: Integer partitions sekä verkkomateriaalit Haukkanen P.: Kombinatoriikkaa ja Wilf H.S.: Lectures on Integer Partitions.