Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä algebralliset- ja transkendenttiset luvut, sekä joitakin näitä lukuja koskevia lauseita. Tässä tutkielmassa algebrallisella luvulla tarkoitetaan useimmiten sellaista algebrallista lukua, joka määritellään rationaalilukukertoimisen polynomin juurena. Vastaavasti transkendenttisellä luvulla tarkoitetaan lukua, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin juuri. Algebrallisen luvun käsite voidaan määritellä yleisemmin siten, että algebrallinen luku määritetään jonkin sellaisen polynomin juureksi, jonka kertoimet ovat kunnassa K, missä tämä kunta K ei ole välttämättä rationaalilukujen kunta. Osa tutkielmassa esitetyistä lauseista on esitetty muodossa, jossa puhutaan algebrallisista luvuista tässä laajemmassa merkityksessä. Tärkeimmät tutkielmassa esitetyt lauseet ovat Liouvillen lukujen transkendenttisuutta koskeva lause, yleistetty Lindemannin lause ja Gelfondin-Schneiderin lause. Näissä lauseissa algebrallisuudella ja transkendenttisuudella on perinteinen rationaalilukujen kuntaan liittyvä merkitys. Lauseiden perusteella on osoitettu lukujen pii ja e transkendenttisuus. Tärkeimpänä lähteenä on käytetty Nivenin kirjaa Irrational Numbers.