Martingaalit diskreetti- ja jatkuva-aikaisessa arbitraasiteoriassa
PENTTINEN, SAKARI (2011)
2011
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2011-06-01
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-21473
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-21473
Tiivistelmä
Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee arvopaperijohdannaisten hinnoittelussa käytettyjä matemaattisia työkaluja ja näiden työkalujen johtamista. Erityisen tarkastelun kohteena on jatkuva-aikainen arbitraasiteoria Tomas Björkin kirjaa Arbitrage theory in continuous time mukaillen. Todennäköisyysteoriantuloksia käsitellään Leonid B. Koralovin ja Yakov G. Sinain kirjan Theory of Probability and Random processes avulla.
Tutkielmassa läpikäydään ensin diskreettiaikaisen arbitraasiteorian perusteita. Tämän jälkeen esitellään todennäköisyysteorian käsitteitä ja tuloksia, joiden avulla johdetaan stokastisen integraalin käsite ja tähän liittyvä Itô-lause. Lopuksi johdetaan arvopaperijohdannaisten hinnoittelussa yleisesti käytettävä Black-Scholes-malli. Tutkielman keskeisiä tarkastelun kohteita ovat martingaaliprosessit ja erityisesti jatkuva-aikaisten martingaaliprosessien erityistapaukset Wiener-prosessit.
Tutkielman päätuloksiin kuuluu lause, jonka mukaan normitetun markkinamallin kaikki arvopaperit ovat martingaaleja riskineutraalin todennäköisyysmitan suhteen. Lause johdetaan diskreettiaikaisen markkinamallin pohjalta ja sen käyttöä laajennetaan myös jatkuva-aikaiseen tapaukseen. Toisen päätuloksen mukaan arvopaperijohdannaisten hinnoitteluun ei vaikuta arvopaperin tuotto, vaan ainoastaan arvopaperin volatiliteetti, markkinoiden lyhyt korko ja jäljelläoleva aika johdannaisen suoritushetkeen. Näiden tulosten todistamisessa seurataan pääosin kirjan Arbitrage theory in continuous time esitystä.
Asiasanat:arbitraasi, martingaali, Itô-lause, Black-Scholes-malli
Tutkielmassa läpikäydään ensin diskreettiaikaisen arbitraasiteorian perusteita. Tämän jälkeen esitellään todennäköisyysteorian käsitteitä ja tuloksia, joiden avulla johdetaan stokastisen integraalin käsite ja tähän liittyvä Itô-lause. Lopuksi johdetaan arvopaperijohdannaisten hinnoittelussa yleisesti käytettävä Black-Scholes-malli. Tutkielman keskeisiä tarkastelun kohteita ovat martingaaliprosessit ja erityisesti jatkuva-aikaisten martingaaliprosessien erityistapaukset Wiener-prosessit.
Tutkielman päätuloksiin kuuluu lause, jonka mukaan normitetun markkinamallin kaikki arvopaperit ovat martingaaleja riskineutraalin todennäköisyysmitan suhteen. Lause johdetaan diskreettiaikaisen markkinamallin pohjalta ja sen käyttöä laajennetaan myös jatkuva-aikaiseen tapaukseen. Toisen päätuloksen mukaan arvopaperijohdannaisten hinnoitteluun ei vaikuta arvopaperin tuotto, vaan ainoastaan arvopaperin volatiliteetti, markkinoiden lyhyt korko ja jäljelläoleva aika johdannaisen suoritushetkeen. Näiden tulosten todistamisessa seurataan pääosin kirjan Arbitrage theory in continuous time esitystä.
Asiasanat:arbitraasi, martingaali, Itô-lause, Black-Scholes-malli