Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee Laplace-muunnosta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemista sen avulla. Laplace-muunnos on integraalimuunnos, joka on saanut nimensä ranskalaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän Pierre-Simon Laplacen mukaan. Laplace-muunnoksella on monia käytännön sovelluskohteita niin fysiikan kuin matematiikan ongelmissa.Tutkielman alkuosassa paneudutaan Laplace-muunnokseen, sen ominaisuuksiinja erilaisten funktioiden Laplace-muunnosten ja käänteismuunnosten määrittämiseen. Erityistä huomiota kiinnitetään Laplace-muunnoksen olemassaolon tarkasteluun, sillä olemassaololle on tietyt vaatimukset, jotka funktion tulee toteuttaa, jotta sillä olisi Laplace-muunnos. Erilaisten funktioiden Laplace-muunnosten ja käänteismuunnosten ratkaiseminen on tärkeä osa Laplace-muunnosten soveltamista erilaisissa tilanteissa, joista tutkielman lopussa paneudutaan tarkemmin differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Laplace-muunnos on differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa hyvä työväline, koska ongelmaa ratkaistaessa ei tarvitse etsiä differentiaaliyhtälön yleistä ratkaisua, vaan alkuehdot voidaan ottaa suoraan huomioon ratkaisumenetelmässä. Lisäksi voidaan hyödyntää useita Laplace-muunnoksen ominaisuuksia, joita esitetään lauseiden muodossa tutkielman kolmannessa luvussa. Tutkielmassa on päälähteinä käytetty teoksia Dyke, P.: An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series, Nagle, R., Saff, E., Snider, A.: Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems ja Schiff, J.: The Laplace Transform: Theory and Applications.

Asiasanat:Laplace-muunnos, differentiaaliyhtälö