Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin
PAAVOLA, MERVI (2011)
2011
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden yksikkö - School of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2011-03-31
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-21256
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-21256
Tiivistelmä
Tämän tutkielman tarkoitus on perehdyttää lukija residylaskentaan. Residylaskentaa tarvitaan laskettaessa reaalisia integraaleja kompleksianalyysin avulla.
Tutkielman alussa luvussa 2 esitellään tieintegraaleihin liittyviä lauseita, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Luvussa 3 käsitellään tasaista suppenemista. Kappaleissa 4 ja 5 esitellään Taylorin ja Laurentin sarjat, jotka ovat potenssisarjoja, joiden avulla arvioidaan funktioita. Luvussa 6 keskitytään funktion erikoispisteisiin. Näiden pisteiden erikoislaatu on tärkeä luvussa 7 esitettävän residylaskennan vuoksi. Luvussa 8 keskitytään reaalisten integraalien laskemiseen residylaskennan keinoin.
Pohjatietoina lukijalta odotetaan monipuolinen kompleksianalyysin perusteiden osaaminen. Varsinkin topologian, sarjojen ja summien ymmärtäminen auttaa lukijaa työn parissa. Päälähdeteoksena käytetään John H. Mathewsin ja Russell W. Howellin kirjan Complex Analysis for Mathematics and Engineering neljättä painosta.
Asiasanat:kompleksianalyysi, Laurentin sarja, residylaskenta
Tutkielman alussa luvussa 2 esitellään tieintegraaleihin liittyviä lauseita, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Luvussa 3 käsitellään tasaista suppenemista. Kappaleissa 4 ja 5 esitellään Taylorin ja Laurentin sarjat, jotka ovat potenssisarjoja, joiden avulla arvioidaan funktioita. Luvussa 6 keskitytään funktion erikoispisteisiin. Näiden pisteiden erikoislaatu on tärkeä luvussa 7 esitettävän residylaskennan vuoksi. Luvussa 8 keskitytään reaalisten integraalien laskemiseen residylaskennan keinoin.
Pohjatietoina lukijalta odotetaan monipuolinen kompleksianalyysin perusteiden osaaminen. Varsinkin topologian, sarjojen ja summien ymmärtäminen auttaa lukijaa työn parissa. Päälähdeteoksena käytetään John H. Mathewsin ja Russell W. Howellin kirjan Complex Analysis for Mathematics and Engineering neljättä painosta.
Asiasanat:kompleksianalyysi, Laurentin sarja, residylaskenta