Logiikasta lukujoukkoihin
RANTALAIHO, HEIKKI (2010)
2010
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2010-12-10
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-21040
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-21040
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa tarkastellaan kriittisesti kaiken muun matematiikan vaatimien peruskäsitteiden määrittelyä Zermelon-Fraenkelin aksiomatisointia noudattavan joukko-opin avulla. Havaitaan intuitionististinen lähestymistapa perustelluksi, etenkin ajatus lukumäärästä väistämättä ensisijaiseksi. Heti alussa kiinnitetään erityistä huomiota logiikan ja joukko-opin ongelmalliseen suhteeseen kvanttorien määrittelyssä. Kehäpäätelmät osoittautuvat mahdottomiksi täysin välttää. Annetaan joukon olemassaololle jo ennen aksiomatisointia alustava määritelmä kvanttorien käytön oikeutukseksi. Asetetaan tässä määriteltävyys perusvaatimukseksi ja tutustutaan sitä lähellä olevaan laskettavuuteen Turingin koneiden avulla.Seuraavaksi aksioomat käydään yksi kerrallaan läpi, jolloin huomataan niistä monet saatavan teoreemoina kun käytössä on määriteltävyyteen perustuva joukon määritelmä. Johdetaan aksioomista tärkeimmät perustulokset pitäen tavoitteena saada työkaluja lukujen määrittelyyn. Korvausaksioomia todetaan käytetyllä kielellä olevan ääretön määrä ja äärettömyysaksiooman todetaan olevan rekursiivinen. Huomataan laskettavuuden johtavan valinta-aksioomaan. Esitetään relaatiot ja kuvaukset ja niiden perusominaisuudet sekä todistetaan tärkeimmät teoreemat. Määritellään mahtavuus ja todistetaan Schröderin-Bernsteinin teoreema.
Määritellään luonnollisten lukujen laskutoimitukset ja osoitetaan niiden noudattavan haluttuja laskusääntöjä. Muodostetaan luonnollisten lukujen järjestys joukko-oppia käyttäen mutta kyseenalaistetaan pitääkö koko luonnollisten lukujen kokoelman olla joukko. Osoitetaan Cantorin teoreema virheelliseksi kun pitäydytään määriteltävissä käsitteissä ja saadaan luonnolliset luvut yhtämahtaviksi potenssijoukkonsa kanssa. Esitetään kokonais- ja rationaaliluvut laskutoimituksineen ja järjestyksineen sekä osoitetaan ne yhtämahtaviksi kuin luonnolliset luvut. Tätä varten konstruoidaan bijektio rationaaliluvuilta luonnollisille luvuille.
Määritellään reaaliluvut Dedekindin leikkauksina ja esitetään niille järjestys. Todetaan Cantorin diagonaaliargumentti pätemättömäksi myös trikotomiaan vedoten. Kyseenalaistetaan lopuksi vahvasti koko tehdyn työn mielekkyys, perusteena etenkin loogisesti hataran äärettömyysaksiooman käyttö. Käsitellään lyhyesti äärettömän olemusta ja esitetään näkökanta, jonka mukaan kaikki äärettömät kokoelmat ovat aitoja luokkia.
Asiasanat:Joukko-oppi
Määritellään luonnollisten lukujen laskutoimitukset ja osoitetaan niiden noudattavan haluttuja laskusääntöjä. Muodostetaan luonnollisten lukujen järjestys joukko-oppia käyttäen mutta kyseenalaistetaan pitääkö koko luonnollisten lukujen kokoelman olla joukko. Osoitetaan Cantorin teoreema virheelliseksi kun pitäydytään määriteltävissä käsitteissä ja saadaan luonnolliset luvut yhtämahtaviksi potenssijoukkonsa kanssa. Esitetään kokonais- ja rationaaliluvut laskutoimituksineen ja järjestyksineen sekä osoitetaan ne yhtämahtaviksi kuin luonnolliset luvut. Tätä varten konstruoidaan bijektio rationaaliluvuilta luonnollisille luvuille.
Määritellään reaaliluvut Dedekindin leikkauksina ja esitetään niille järjestys. Todetaan Cantorin diagonaaliargumentti pätemättömäksi myös trikotomiaan vedoten. Kyseenalaistetaan lopuksi vahvasti koko tehdyn työn mielekkyys, perusteena etenkin loogisesti hataran äärettömyysaksiooman käyttö. Käsitellään lyhyesti äärettömän olemusta ja esitetään näkökanta, jonka mukaan kaikki äärettömät kokoelmat ovat aitoja luokkia.
Asiasanat:Joukko-oppi