Insidenssifunktioihin liittyvien matriisien ominaisarvoista

Abstract

Olkoon P paikallisesti äärellinen meet-puolihila ja S={x_1,x_2,..., x_n} joukon P äärellinen osajoukko, jonka alkiot on lueteltu "kasvavassa" järjestyksessä. Olkoon f lisäksi funktio joukolta P kompleksilukujen joukkoon. Tällöin n kertaa n -matriisia (S)_f, jonka i. rivin ja j. sarakkeen alkiona on f(meet{x_i,x_j}), sanotaan joukon S meet-matriisiksi funktion f suhteen. Joukon S join-matriisi funktion f suhteen oin-puolihilassa P määritellään duaalisesti.Tässä tutkielmassa esitetään alaraja tietynlaisen, positiivisesti definiitin meet-matriisin pienimmälle ominaisarvolle. Lisäksi määritetään kompleksitasosta sellainen alue, johon meet-suljetun joukon S meet-matriisin kaikki ominaisarvot kuuluvat. Sama tehdään vielä meet-suljetun joukon join-matriisille semimultiplikatiivisen funktion f suhteen. Näistä kaikista osoitetaan myös duaaliset tulokset. Tämän jälkeen tarkastellaan näihin lauseisiin liittyviä vakioita c_n ja C_n, joita tarvitaan niiden käytännön soveltamisessa. Lopuksi esitetään yleisemmät versiot neljästä edellä mainitusta päätuloksesta koskien yleistettyjen meet- ja join-matriisien ominaisarvoja. Viimeksi mainitut tulokset ovat uusia. Uutta tietoa löydetään myös ns. resiprookkimatriisien ominaisarvoista sekä vakion c_n alarajoista.

Asiasanat:meet-matriisi, join-matriisi, ominaisarvo