Riemannin integraalista
STENBERG, AIJA (2010)
2010
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2010-09-23
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-20884
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-20884
Tiivistelmä
Tämän tutkielman aiheena on Riemannin integraali. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) oli saksalainen matemaatikko ja fyysikko, joka kehitti analyysin lisäksi geometriaa ja lukuteoriaa. Hän omaksui aiemmasta poikkevan tavan lähestyä integraalin käsitettä ja ikäänkuin erotti integroinnin derivoinnista ja lähestyi sitä summan ja raja-arvon käsitteiden avulla.
Tutkielman aluksi perehdytään ala- ja yläsumman käsitteisiin. Tämän jälkeen määritellään ylä- ja alaintegraali rajoitetulle funktiolle suljetulla ja rajoitetulla välillä. Luvussa 3.3 esitetään Riemannin integraalin määritelmä. Funktion sanotaan olevan Riemann-integroituva silloin, kun alaintegraalin ja yläintegraalin arvot ovat yhtäsuuret. Tätä ala- ja yläintegraalin arvoa kutsutaan funktion Riemannin integraaliksi.
Tutkielmassa käydään esimerkkien avulla läpi eräitä Riemann-integroituvia funktioita ja esitetään Riemannin kriteeri integroituvuudelle. Luvussa 4 osoitetaan ensin Riemannin integraalin nk. lineaarisuusominaisuus. Tämän jälkeen osoitetaan, että positiivisen funktion Riemannin integraalifunktio on myös positiivinen. Luvussa 4.3 osoitetaan, että monotoniset funktiot ja jatkuvat funktiot ovat integroituvia. Luvussa 4.4 osoitetaan, että tietyin ehdoin yhdistetty funktio, itseisarvofunktio ja käänteisfunktio ovat Riemannintegroituvia. Lisäksi osoitetaan, että integroituvan funktion potenssifunktio on myös integroituva. Tutkielman lopuksi osoitetaan, että määräämätön integraalifunktio on aina jatkuva.
Asiasanat:Riemannin integraali, alasumma, yläsumma, alaintegraali, yläintegraali
Tutkielman aluksi perehdytään ala- ja yläsumman käsitteisiin. Tämän jälkeen määritellään ylä- ja alaintegraali rajoitetulle funktiolle suljetulla ja rajoitetulla välillä. Luvussa 3.3 esitetään Riemannin integraalin määritelmä. Funktion sanotaan olevan Riemann-integroituva silloin, kun alaintegraalin ja yläintegraalin arvot ovat yhtäsuuret. Tätä ala- ja yläintegraalin arvoa kutsutaan funktion Riemannin integraaliksi.
Tutkielmassa käydään esimerkkien avulla läpi eräitä Riemann-integroituvia funktioita ja esitetään Riemannin kriteeri integroituvuudelle. Luvussa 4 osoitetaan ensin Riemannin integraalin nk. lineaarisuusominaisuus. Tämän jälkeen osoitetaan, että positiivisen funktion Riemannin integraalifunktio on myös positiivinen. Luvussa 4.3 osoitetaan, että monotoniset funktiot ja jatkuvat funktiot ovat integroituvia. Luvussa 4.4 osoitetaan, että tietyin ehdoin yhdistetty funktio, itseisarvofunktio ja käänteisfunktio ovat Riemannintegroituvia. Lisäksi osoitetaan, että integroituvan funktion potenssifunktio on myös integroituva. Tutkielman lopuksi osoitetaan, että määräämätön integraalifunktio on aina jatkuva.
Asiasanat:Riemannin integraali, alasumma, yläsumma, alaintegraali, yläintegraali