Dirichlet'n ratkaisuista

Abstract

Euklidisen avaruuden alueella määriteltyä jatkuvaa, harmonista reaalifunktiota voidaan luonnehtia keskiarvo-ominaisuudella alueen pisteissä: funktio saa kussakin pisteessä arvokseen keskiarvon pisteen ympäri piirretyllä millä tahansa pallonpinnalla saamistaan arvoista. Matemaattisessa potentiaaliteoriassa keskeinen ensimmäinen reuna-arvotehtävä eli Dirichlet'n probleema kysyy harmonista funktiota, jonka raja-arvot alueen reunalla tunnetaan. Käsillä olevassa tutkielmassa käydään aluksi lyhyesti läpi kompleksitason harmonisten funktioiden ominaisuuksia sekä näiden ja kompleksitason holomorfisten funktioiden yhtäläisyyksiä. Reuna-arvotehtävän tutkimuksessa 1800-1900-luvuilla kehitettyä teoreettista käsitteistöä ja saavutettuja tuloksia esitetään sen jälkeen yksityiskohtaisemmin - tehtävä ratkaistaan kompleksitasossa jatkuvilla ja oleellisesti jatkuvilla, resolutiivisilla reuna-arvoilla. Tämä esitys päättyy klassiseen Perron-Wiener-Brelot'n menetelmään, ratkaisufunktion määrittämiseen sen ala- tai yläarviofunktioiden ns. Perron-kehitelmänä. Tutkielman loppuosassa osoitetaan harmonisten ja kvasirajoitettujen funktioiden luokan yhtyvän reuna-arvotehtävän ratkaisujen luokkaan silloin, kun alue täyttää tietyt jatkuvuuden kriteerit.

Asiasanat:Dirichlet'n probleema, harmoniset funktiot, subharmoniset funktiot