Epäeuklidisista geometrioista
KUUKKULA, ESSI (2010)
2010
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2010-08-13
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-20826
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-20826
Tiivistelmä
Kreikkalainen matemaatikko Eukleides Aleksandrialainen loi noin 300 eKr. euklidisen geometrian, joka perustuu hänen teoksessaan Alkeet julkaisemiin aksioomiin, perusoletuksiin. Eukleideen viides aksiooma, yhdensuuntaisuusaksiooma, alkoi askarruttaa matemaatikkoja. Sen mukaan pisteen, joka ei ole annetulla suoralla, kautta voidaan piirtää ainoastaan yksi suora, joka on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa. Noin 2000 vuotta Eukleideen jälkeen keksittiin useiden matemaatikkojen toimesta sellaisia geometrioita, jotka eivät noudattaneet Eukleideen yhdensuuntaisuusaksioomaa. Tällöin syntyi epäeuklidinen geometria, joka on geometria, jossa ei päde yhdensuuntaisuusaksiooma. Tästä johtuen epäeuklidisissa geometrioissa on monia Eukleideen tasogeometriasta poikkeavia ominaisuuksia. Epäeuklidisia geometrioita on useita. Tässä tutkielmassa tarkastellaan niistä tarkemmin pallogeometriaa ja hyperbolista geometriaa.
Pallogeometria on geometriaa pallon pinnalla. Siinä taso on pallon pinta, pisteet pallon pinnan pisteitä ja suorat pallon isoympyröitä. Pallogeometria ei noudata Eukleideen yhdensuuntaisuusaksioomaa, sillä siinä ei ole ollenkaan yhdensuuntaisia suoria. Pallogeometriassa kolmion kulmien summa on suurempi kuin 180. Hyperbolisessa geometriassa oletetaan Eukleideen yhdensuuntaisuusaksiooman sijasta hyperbolinen yhdensuuntaisuusaksiooma. Sen mukaan suoralla on vähintään kaksi suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkevaa yhdensuuntaista suoraa. Hyperbolisessa geometriassa kolmion kulmien summa on vähemmän kuin 180. Hyperbolisen geometrian malleja ovat Kleinin-Beltramin kiekko, Poincarén kiekko sekä Poincarén puolitaso.
Asiasanat:Epäeuklidinen geometria, pallogeometria, hyperbolinen geometria
Pallogeometria on geometriaa pallon pinnalla. Siinä taso on pallon pinta, pisteet pallon pinnan pisteitä ja suorat pallon isoympyröitä. Pallogeometria ei noudata Eukleideen yhdensuuntaisuusaksioomaa, sillä siinä ei ole ollenkaan yhdensuuntaisia suoria. Pallogeometriassa kolmion kulmien summa on suurempi kuin 180. Hyperbolisessa geometriassa oletetaan Eukleideen yhdensuuntaisuusaksiooman sijasta hyperbolinen yhdensuuntaisuusaksiooma. Sen mukaan suoralla on vähintään kaksi suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkevaa yhdensuuntaista suoraa. Hyperbolisessa geometriassa kolmion kulmien summa on vähemmän kuin 180. Hyperbolisen geometrian malleja ovat Kleinin-Beltramin kiekko, Poincarén kiekko sekä Poincarén puolitaso.
Asiasanat:Epäeuklidinen geometria, pallogeometria, hyperbolinen geometria