Johdatus p-adisiin lukuihin

Abstract

Tämän tutkielman tarkoitus on johdattaa lukija p-adiseen maailmaan. Päämääränä on rationaalilukujen kunnan Q täydentäminen p-adisen normin suhteen. Tuloksena saadaan p-adisten lukujen kunta Qp. Luvussa 2 annetaan tutkielman varsinaisen aiheen ymmärtämisen kannalta olennaisimmat määritelmät ja tulokset. Luku 2 on käytännössä lukuteorian ja algebran perusasioiden kertausta. Luvussa 3 määritellään p-eksponentti ja tavallisesta normista poikkeava p-adinen normi. Lisäksi palautetaan mieleen käsitteet Cauchyn jono ja nollajono. Luvussa 4 selvitetään, mitä p-adiset luvut ovat ja osoitetaan, että Qp on todellakin kunta. Neljännessä luvussa todistetaan myös Henselin lemma. Kyseinen tulos on tärkeä p-adisten lukujen ominaisuus. Henselin lemman avulla voidaan selvittää, onko polynomilla juuria p-adisten kokonaislukujen renkaassa Zp. Luvussa 5 tutustutaan hiukan kunnan Qp topologiaan.

Asiasanat: lukuteoria, p-adiset luvut