Eräs näkökulma euklidiseen tasogeometriaan ja affiiniin geometriaan
HUHMA, EMMI (2010)
2010
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2010-03-22
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-20418
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-20418
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa käsitellään euklidista tasogeometriaa ja affiinia geometriaa sekä niiden kuvauksia analyyttisestä näkökulmasta. Lisäksi tutustutaan kolmioihin ja niiden yhtenevyyslauseisiin.
Yhtenevyyskuvaukset ovat sellaisia kuvauksia, jotka säilyttävät pisteiden välisen etäisyyden. Kaksi kuviota ovat yhtenevät, kun on olemassa yhtenevyyskuvaus, joka kuvaa ensimmäisen kuvion toiseksi. Tällöin kuviot ovat ”samanmuotoiset ja -kokoiset”. Yhtenevyyskuvauksia ovat peilaus, kierto, siirto ja liukupeilaus, ja nämä voidaan esittää matriisien avulla.
Afiini kuvaus on sellainen kuvaus, joka on muotoa T(X) = AX +b, missä A on kääntyvä 2×2-matriisi ja b on vektori. Affiinit kuvaukset kuvaavat yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi. Affiineja kuvauksia ovat affiini peilaus, leikkuri sekä dilataatio. Kollineaatio on sellainen kuvaus, joka kuvaa kollineaarisetpisteet kollineaarisiksi, eli se säilyttää samalla suoralla olevat pisteet samalla suoralla. Kollineaatiot ovat affiineja kuvauksia, ja affiinit kuvaukset kollineaatioita.
Yhdenmuotoisuuskuvaus on sellainen kuvaus, joka säilyttää kuvion muodon, mutta ei välttämättä kokoa. Se on yhdistelmä yhtenevyyskuvauksesta ja eräästä affiinista kuvauksesta, dilataatiosta, ja on näin ollen itsekin affiini kuvaus.
Euklidinen geometria tutkii tasoa R2 ja sellaisia tason ominaisuuksia, jotka säilyvät yhtenevyyskuvauksissa. Näitä ominaisuuksia ovat muun muassa etäisyys ja kulma. Affiini geometria sen sijaan keskittyy tasoon R2 sekä affiineissa kuvauksissa säilyviin ominaisuuksiin, kuten leikkautumisominaisuuksiin.
Asiasanat:geometria, euklidinen, affiini
Yhtenevyyskuvaukset ovat sellaisia kuvauksia, jotka säilyttävät pisteiden välisen etäisyyden. Kaksi kuviota ovat yhtenevät, kun on olemassa yhtenevyyskuvaus, joka kuvaa ensimmäisen kuvion toiseksi. Tällöin kuviot ovat ”samanmuotoiset ja -kokoiset”. Yhtenevyyskuvauksia ovat peilaus, kierto, siirto ja liukupeilaus, ja nämä voidaan esittää matriisien avulla.
Afiini kuvaus on sellainen kuvaus, joka on muotoa T(X) = AX +b, missä A on kääntyvä 2×2-matriisi ja b on vektori. Affiinit kuvaukset kuvaavat yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi. Affiineja kuvauksia ovat affiini peilaus, leikkuri sekä dilataatio. Kollineaatio on sellainen kuvaus, joka kuvaa kollineaarisetpisteet kollineaarisiksi, eli se säilyttää samalla suoralla olevat pisteet samalla suoralla. Kollineaatiot ovat affiineja kuvauksia, ja affiinit kuvaukset kollineaatioita.
Yhdenmuotoisuuskuvaus on sellainen kuvaus, joka säilyttää kuvion muodon, mutta ei välttämättä kokoa. Se on yhdistelmä yhtenevyyskuvauksesta ja eräästä affiinista kuvauksesta, dilataatiosta, ja on näin ollen itsekin affiini kuvaus.
Euklidinen geometria tutkii tasoa R2 ja sellaisia tason ominaisuuksia, jotka säilyvät yhtenevyyskuvauksissa. Näitä ominaisuuksia ovat muun muassa etäisyys ja kulma. Affiini geometria sen sijaan keskittyy tasoon R2 sekä affiineissa kuvauksissa säilyviin ominaisuuksiin, kuten leikkautumisominaisuuksiin.
Asiasanat:geometria, euklidinen, affiini