Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia

Abstract

Tutkielmassa esitetään reaaliarvoisten funktioiden raja-arvon virallinen, ns. epsilon-delta-määritelmä. Toisessa luvussa esitetään lyhyt katsaus määritelmän historiaan. Kolmannessa luvussa esitetään jatkon kannalta oleellinen itseisarvon käsite, jolla käytännössä tarkoitetaan kahden reaaliluvun etäisyyttä toisistaan. Tässä luvussa esitetään ja todistetaan myös reaalilukujen summien ja erotusten itseisarvoihin liittyvä kolmioepäyhtälö. Luvussa 4 esitetään itse määritelmä esimerkkeineen. Määritelmän mukaan raja-arvolimx!cf(x) = Lon voimassa, jos8² > 0 9± > 0,siten, että0 < |x - c| < ± =) |f(x) - L| < ².Tässä luvussa määritellään myös toispuoleiset raja-arvot, sekä raja-arvo tilanteissa, joissa muuttujan arvot kasvavat, tai pienenevät rajatta. Rajaarvoa koskevia lauseita on todistettu ² - ±-määritelmää hyväksikäyttäen luvussa 5. Luvuissa 6 ja 7 esitetään jatkuvuuden käsite, sekä todistetaan ns. kuristusperiaate, jonka avulla voidaan määrittää funktion raja-arvo tutkimalla sellaisten funktioiden raja-arvoja, joiden arvojen välissä tutkittavan funktion arvot ovat. Jatkuvien funktioiden ääriarvolause esitetään ja todistetaan luvussa 8. Luvussa 9 raja-arvon sovelluksista esitetään derivaatta ja todistetaan Rollen lause, jatkuvien funktioiden väliarvolause, Cauchyn väliarvolause, sekä lopulta L'Hospitalin sääntö. L'Hospitalin sääntöä voidaan käyttää hyväksi rationaalifunktioiden raja-arvojen määrittämisessä esimerkiksi tilanteissa, joissa sekä osoittajana, että nimittäjänä oleva funktio lähestyy nollaa. Sääntö toimii myös tilanteessa, jossa edellä mainittujen funktioiden arvot kasvavat, tai pienenevät rajatta. Lopuksi lasketaan muutama esimerkki L'Hospitalin sääntöä hyväksikäyttäen.

Asiasanat:Reaalianalyysi, raja-arvo