Algebrallisista käyristä
KALLIOJÄRVI, HEIDI (2009)
2009
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2009-08-21
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-20011
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-20011
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa käsitellään algebrallisten tasokäyrien teoriaa. Tarkastelu rajoitetaan tapahtuvaksi yli algebrallisesti suljetun kunnan. Työssä keskitytään varsinkin säännöllisiin projektiivisiin tasokäyriin, koska niillä on erityisiä ominaisuuksia ja käyttöä esimerkiksi koodausteoriassa.
Liikkeelle lähdetään affiinin ja projektiivisen tasokäyrän määritelmistä. Tasokäyrien määrittelyyn liittyvien tarkastelujen jälkeen tutustutaan Noetherin renkaisiin, diskreetteihin valuaatiorenkaisiin lokaaleine parametreineen sekä tietyssä käyrän pisteessä määriteltyihin rationaalifunktioihin. Rationaalifunktioiden osalta keskitytään paljolti niiden napoihin ja nollakohtiin. Lisäksi esitellään säännöllisen projektiivisen käyrän divisorit. Divisori määrää aina tietyn vektoriavaruuden, jonka ominaisuuksiin myös perehdytään. Eräs tutkielman päätavoitteista on pyrkiä löytämään yhteyksiä edellä mainittujen käsitteiden välille.
Tutkielmassa esiteltäviä keskeisiä tuloksia ovat muun muassa Noetherin renkaita koskeva Hilbertin kantalause, rationaalifunktioita käsittelevä heikko approksimaatiolausesekä divisoreihin liittyvä Riemannin lause.
Tutkielman lukemista helpottaa, mikäli lukijalla on esitietoinaan kurssi Algebra II.
Asiasanat:algebralliset käyrät, algebrallinen geometria
Liikkeelle lähdetään affiinin ja projektiivisen tasokäyrän määritelmistä. Tasokäyrien määrittelyyn liittyvien tarkastelujen jälkeen tutustutaan Noetherin renkaisiin, diskreetteihin valuaatiorenkaisiin lokaaleine parametreineen sekä tietyssä käyrän pisteessä määriteltyihin rationaalifunktioihin. Rationaalifunktioiden osalta keskitytään paljolti niiden napoihin ja nollakohtiin. Lisäksi esitellään säännöllisen projektiivisen käyrän divisorit. Divisori määrää aina tietyn vektoriavaruuden, jonka ominaisuuksiin myös perehdytään. Eräs tutkielman päätavoitteista on pyrkiä löytämään yhteyksiä edellä mainittujen käsitteiden välille.
Tutkielmassa esiteltäviä keskeisiä tuloksia ovat muun muassa Noetherin renkaita koskeva Hilbertin kantalause, rationaalifunktioita käsittelevä heikko approksimaatiolausesekä divisoreihin liittyvä Riemannin lause.
Tutkielman lukemista helpottaa, mikäli lukijalla on esitietoinaan kurssi Algebra II.
Asiasanat:algebralliset käyrät, algebrallinen geometria