Aritmeettiset funktiot ja totienttien karakterisointeja

Abstract

Tässä gradussa käsitellään aritmeettisia funktioita ja niiden ominaisuuksia sekä tiettyjä aritmeettisia funktioita, joita kutsutaan totienteiksi. Aritmeettinen funktio on reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukko on positiivisten kokonaislukujen joukko.

Tutkielman alkupuoli keskittyy esittelemään aritmeettisten funktioiden peruskäsitteitä ja tuloksia. Alkupuolella tutustutaan muun muassa käsitteisiin Dirichlet'n konvoluutio, aritmeettisen funktion käänteisfunktio Dirichlet'n konvoluution suhteen, multiplikatiivinen funktio ja täydellisesti multiplikatiivinen funktio. Näitä käsitteitä ja niihin liittyviä tuloksia tarkastellaan melko laajasti ja monipuolisesti. Tutkielman alkupuolen tarkoitus on antaa lukijalle välineitä tutkielman loppupuolen tulosten käsittelyyn.

Tutkielman loppupuoli käsittelee totientteja. Totientti on aritmeettinen funktio, joka voidaan esittää täydellisesti multiplikatiivisen funktion ja täydellisesti multiplikatiivisen funktion käänteisfunktion Dirichlet'n konvoluutiona. Tutkielman loppupuolella esitellään ja kootaan yhteen totienttien ominaisuuksia sekä välttämättömiä ja riittäviä ehtoja sille, että aritmeettinen funktio on totientti. Tällaiset ehdot tunnetaan totienttien karakterisointeina. Tutkielman loppupuolella esitellään myös yksi uusi totienttien karakterisointi.

Asiasanat:Aritmeettiset funktiot, multiplikatiiviset funktiot, totientit, täydellisesti multiplikatiiviset funktiot