Gaussin kokonaisluvuista

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään Gaussin kokonaislukuja ja niiden ominaisuuksia. Gaussin kokonaisluvuiksi kutsutaan kompleksilukuja, joissa sekä reaaliosa että imaginaariosa ovat kokonaislukuja. Luvussa 2.1 esitellään Gaussin kokonaislukuihin liittyviä määritelmiä sekä lukuteoreettisia perusominaisuuksia, joita tarvitaan tutkielman seuraavissa luvuissa. Luvuissa 2.2 ja 2.3 osoitetaan, että rationaalisille kokonaisluvuille tunnetut suurin yhteinen tekijä, jakoalgoritmi, Eukleideen algoritmi, alkuluvut sekä aritmetiikan peruslause voidaan ilmaista myös Gaussin kokonaisluvuille. Luvussa 3.1 osoitetaan Gaussin kokonaislukujen avulla, mitkä rationaaliset alkuluvut voidaan esittää kahden neliön summana. Edellistä laajempi tulos, eli mitkä kaikki rationaaliset kokonaisluvut voidaan esittää kahden neliön summana, osoitetaan rationaalisten kokonaislukujen avulla. Lisäksi osoitetaan Gaussin kokonaislukujen avulla, kuinka monella eri tavalla rationaalinen kokonaisluku voidaan esittää kahden neliön summana. Luvussa 3.2 esitetään Gaussin kokonaislukujen avulla, mitkä rationaaliset kokonaisluvut toteuttavat yhtälön x^2 + y^2 = z^2.