Ryhmälaajennukset ja ryhmäkohomologia

Abstract

Tutkielman aiheena on ryhmälaajennusten ja ryhmäkohomologian esittely. Ryhmä G, jolla on normaali aliryhmä K voidaan jakaa ryhmiin K ja G/K. Ryhmälaajennusten tutkiminen asettaa päinvastaisen kysymyksen: millaisia ryhmiä G saadaan aliryhmästä K ja tekijäryhmästä Q=G/K?

Tutkielman toisessa luvussa esitellään lyhyesti esitietoina ryhmän toiminta ja G-modulit. Kolmannessa luvussa esitellään ryhmälaajennukset, ryhmien suorat tulot, nostot, lohkeavat laajennukset, ryhmien puolisuorat tulot, ryhmien komplementit ja ekvivalentit laajennukset sekä esitellään niiden ominaisuuksia. Neljännen luvun ensimmäisessä aliluvussa keskitytään ensimmäiseen kohomologiaryhmään. Ensin määritellään 1-kosyklit ja 1-koreunat ja lopulta ensimmäinen kohomologiaryhmä. Tämän jälkeen todistetaan joitakin ensimmäiseen kohomologiaryhmään liittyviä tuloksia. Toisessa aliluvussa keskitytään toiseen kohomologiaryhmään. Aluksi määritellään 2-kosyklit ja 2-koreunat ja näiden jälkeen toinen kohomologiaryhmä. Seuraavaksi todistetaan joitakin toiseen kohomologiaryhmään liittyviä tuloksia. Kolmannessa aliluvussa esitellään vielä lyhyesti n-kosyklit, n-koreunat ja yleisen kohomologiaryhmän määritelmä.

Asiasanat: ryhmälaajennus, ryhmäkohomologia