Vektorinormit

Abstract

Tutkielma pohjautuu Roger A. Hornin ja Charles R. Johnson:in teokseen Matrix analysis. Tätä teosta käsitellään luvun 5, Norms for vectors and matrices, vektorinormien osalta.

Tutkielman alussa käydään läpi vektorinormien merkitystä, hieman työn sisältöä sekä annetaan esi- ja lisätietoja, joista on apua tekstin ymmärtämisessä ja joihin voidaan tekstissä viitata. Tämän jälkeen tutkielmassa perehdytään ominaisuuksiin, joiden avulla sisätulo ja vektorinormi määritellään. Lisäksi käydään läpi esimerkkejä normeista, joista tärkein ja käytetyin on euklidinen normi, jonka jälkeen käydään vielä läpi vektorinormien algebrallisia, analyyttisiä ja geometrisia ominaisuuksia.

Tässä tutkielmassa tarkastellaan usein, toteuttaako normi (tai funktio) vektorinormille asetetut ehdot. Euklidisen normin käsittelyn lisäksi tarkastellaan myös esimerkiksi summanormia ja maksiminormia. Käytettävän normin valinta riippuu aina ratkaistavasta tehtävästä. Euklidisella normilla saadaan usein kauneimmat ja täydellisimmät teoreettiset tulokset, mutta joissakin sovelluksissa jokin muu normi on käyttökelpoisempi. Euklidisen normin teoreettiset ominaisuudet ovat kuitenkin niin hyvät, että tämä tutkielma keskittyy pääsääntöisesti tähän normiin. Tähän kyseiseen normiin perustuvat tulokset eivät kaikki yleisty muille normeille mm. siitä syystä, että euklidinen normi on sisätulon indusoima. Esimerkiksi jo aiemmin mainittua summanormia ei johdeta sisätulosta, joka tullaan tutkielmassa osoittamaan.

Vektorinormeja käytetään hyväksi monilla eri tieteenaloilla. Matematiikassa vektorinormeja käytetään numeerisessa matematiikassa ja teoreettisissa tarkasteluissa, sekä matemaattisessa tilastotieteessä vektorinormeja käytetään usein optimointitehtäviä ratkaistaessa. Lisäksi vektorinormeja käytetään myös esimerkiksi signaalikäsittelyn eri osa-alueilla.

Tutkielman lukijan oletetaan tuntevan vektorien normaalit laskutoimitukset ja lineaarialgebran perusteet.

Asiasanat: vektorinormi, euklidinen normi, sisätulo