Sekventtikalkyylin täydellisyyden todistaminen

Abstract

Tässä tutkielmassa tarkastellaan täydellisyyslauseen todistamista sekventtikalkyylin avulla ensimmäisen kertaluvun logiikassa. Aluksi luvussa 1 tutustutaan aiheen kontekstiin ja tarkastellaan tarvittavia käsitteitä. Sen jälkeen luvussa 2 käsitellään logiikan syntaksia. Tässä luvussa esitellään hieman propositiologiikkaa ja sen jälkeen siirrytään tarkastelemaan ensimmäisen kertaluvun logiikkaa, jossa tutustutaan muun muassa aakkostoihin, termeihin, kaavoihin ja induktiolla todistamiseen. Luvussa 3 tutkitaan logiikan semantiikkaa. Jälleen ensimmäisenä käsitellään propositiologiikkaa, jossa tarkastellaan kaavojen totuusarvoja. Ensimmäisen kertaluvun logiikkaa käsittelevässä luvussa määritellään struktuuri, tulkintafunktio ja tulkinta. Tämän jälkeen tarkastellaan kaavojen totuutta, loogista seurausta ja lopuksi sijoitusta. Valmisteluna pääaihetta varten esitämme luvussa 4 luettelomaisesti useita sekventtikalkyylin sääntöjä. Luvun lopussa tarkastellaan joukkojen ristiriidattomuutta ja todistetaan eheyslause, joka on erittäin tärkeä sekventtikalkyylin täydellisyyden todistamisessa. Kaikki nämä edeltävät luvut valmistelevat täydellisyyslauseen todistamista, joka esitetään viidennessä ja viimeisessä luvussa. Ennen täydellisyyslauseen todistusta todistetaan kuitenkin Henkinin lause ja ristiriidattomien joukkojen toteutuvuus. Lähdeteoksena käytetään H.D. Ebbinghaus, J. Flum ja W. Thomasin kirjaa; Mathematical Logic.

Asiasanat: Kurt Gödel, täydellisyyslause, sekventtikalkyyli, propositiologiikka, ensimmäisen kertaluvun logiikka, eheyslause, Henkinin lause.