Jatkuvan funktion perusominaisuuksia
RAITTINEN, MARI (2008)
Tässä tietueessa ei ole kokotekstiä saatavilla Treposta, ainoastaan metadata.
RAITTINEN, MARI
2008
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
Hyväksymispäivämäärä
2008-06-02Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa määritellään funktion jatkuvuus tarkastelemalla reaalimuuttujan
reaaliarvoisia muuttujia sekä tutustutaan jatkuvan funktion perusominaisuuksiin. Tutkielma johdattelee lukijan lukujonon raja-arvon määritelmän kautta funktion raja-arvon käsitteeseen, johon jatkuvan funktion täsmällinen määritelmä perustuu.
Tutkielma aloitetaan tutustumisella lukujonon raja-arvon käsitteeseen ja Cauchyn jonon määritelmään sekä havainnollistetaan epsilon-tekniikan käyttöä esimerkkien avulla. Luvussa kolme esitetään kaksi yhtäpitävää määritelmää funktion raja-arvolle ja tutustutaan toispuoleisiin raja-arvoihin sekä määritellään lyhyesti epäoleelliset raja-arvot. Luvun lopussa tutustutaan vielä funktiojonon tasaiseen suppenemiseen sup-luonnehdinnan avulla. Neljännessä luvussa tutkitaan funktion jatkuvuutta tietyssä pisteessä sekä avoimella että suljetulla välillä. Samassa luvussa määritellään funktion tasainen jatkuvuus, jota tarvitaan myöhemmin luvussa viisi jatkuvan funktion integroituvuutta todistettaessa. Luvussa viisi esitetään myös muita tärkeitä jatkuvanfunktion perusominaisuuksia.
Tutkielma on luonteeltaan teoreettinen ja perustuu lähes kokonaisuudessaan englanninkieliseen lähdeteokseen Rudin, Principles of Mathematical Analysis.
reaaliarvoisia muuttujia sekä tutustutaan jatkuvan funktion perusominaisuuksiin. Tutkielma johdattelee lukijan lukujonon raja-arvon määritelmän kautta funktion raja-arvon käsitteeseen, johon jatkuvan funktion täsmällinen määritelmä perustuu.
Tutkielma aloitetaan tutustumisella lukujonon raja-arvon käsitteeseen ja Cauchyn jonon määritelmään sekä havainnollistetaan epsilon-tekniikan käyttöä esimerkkien avulla. Luvussa kolme esitetään kaksi yhtäpitävää määritelmää funktion raja-arvolle ja tutustutaan toispuoleisiin raja-arvoihin sekä määritellään lyhyesti epäoleelliset raja-arvot. Luvun lopussa tutustutaan vielä funktiojonon tasaiseen suppenemiseen sup-luonnehdinnan avulla. Neljännessä luvussa tutkitaan funktion jatkuvuutta tietyssä pisteessä sekä avoimella että suljetulla välillä. Samassa luvussa määritellään funktion tasainen jatkuvuus, jota tarvitaan myöhemmin luvussa viisi jatkuvan funktion integroituvuutta todistettaessa. Luvussa viisi esitetään myös muita tärkeitä jatkuvanfunktion perusominaisuuksia.
Tutkielma on luonteeltaan teoreettinen ja perustuu lähes kokonaisuudessaan englanninkieliseen lähdeteokseen Rudin, Principles of Mathematical Analysis.