Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua
LEMPIÄINEN, TEEMU (2008)
2008
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2008-05-12
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18125
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18125
Tiivistelmä
Tutkielma tarkastelee saksalaisen matemaatikon David Hilbertin aksioomajärjestelmää Eukleideen geometrialle. Hilbert julkaisi vuonna 1899 kuuluisan teoksensa The Foundations of Geometry, jossa hän esitti nykyaikaisessa muodossa Eukleideen jo yli 2000 vuotta vanhan geometrian.
Tarkastelun alussa kerrotaan lyhyesti aksioomajärjestelmän vaatimuksista ja tämän jälkeen esitetään tarkasteltavalle aksioomajärjestelmälle yleiset käsitteet. Tarkastelussa aksioomat jaetaan viiteen eri ryhmään, jotka kuvaavat niiden antamia ominaisuuksia rakennettavalle geometriselle järjestelmälle. Lisäksi esitetään aksioomajärjestelmälle tarpeelliset määritelmät, aksioomat
ja aksioomajärjestelmään keskeisesti liittyviä lauseita.
Tarkastelun lopuksi osoitetaan aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus ja keskinäinen riippumattomuus. Ensimmäiseksi konstruoidaan malli, jonka avulla osoitetaan, että aksioomat eivät ole ristiriidassa keskenään. Tämän jälkeen osoitetaan aksioomien keskinäinen riippumattomuus.
Tutkielman päälähteinä on käytetty Hilbertin The Foundations of Geometry teoksen ensimmäistä ja 10. laitosta sekä esitetty näiden kahden laitoksen välisiä eroavaisuuksia tavassa, jolla Hilbert esitti aksioomajärjestelmänsä.
Asiasanat: Geometria, Eukleideen geometria, Hilbertin aksioomajärjestelmä
Tarkastelun alussa kerrotaan lyhyesti aksioomajärjestelmän vaatimuksista ja tämän jälkeen esitetään tarkasteltavalle aksioomajärjestelmälle yleiset käsitteet. Tarkastelussa aksioomat jaetaan viiteen eri ryhmään, jotka kuvaavat niiden antamia ominaisuuksia rakennettavalle geometriselle järjestelmälle. Lisäksi esitetään aksioomajärjestelmälle tarpeelliset määritelmät, aksioomat
ja aksioomajärjestelmään keskeisesti liittyviä lauseita.
Tarkastelun lopuksi osoitetaan aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus ja keskinäinen riippumattomuus. Ensimmäiseksi konstruoidaan malli, jonka avulla osoitetaan, että aksioomat eivät ole ristiriidassa keskenään. Tämän jälkeen osoitetaan aksioomien keskinäinen riippumattomuus.
Tutkielman päälähteinä on käytetty Hilbertin The Foundations of Geometry teoksen ensimmäistä ja 10. laitosta sekä esitetty näiden kahden laitoksen välisiä eroavaisuuksia tavassa, jolla Hilbert esitti aksioomajärjestelmänsä.
Asiasanat: Geometria, Eukleideen geometria, Hilbertin aksioomajärjestelmä