Matriisin singulaariarvohajotelman historia, teoria ja sovellukset tilastotieteessä
KAUPPINEN, JOONAS (2008)
2008
Tilastotiede - Statistics
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2008-05-14
Julkaisun pysyvä osoite on
http://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18115
http://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18115
Tiivistelmä
Tutkielmassa tarkastellaan matriisin singulaariarvohajotelmaa. Sen avulla mikä tahansa reaali- tai kompleksilukualkioinen matriisi on esitettävissä kolmen matriisin tulona. Näistä kolmesta matriisista ensimmäinen ja viimeinen ovat ortogonaalisia matriiseja ja keskimmäinen singulaariarvoista koostuva diagonaalimatriisi. Hajotelmalla on merkittäviä sovelluksia mm. tilastotieteessä ja signaalinkäsittelyssä.
Singulaariarvohajotelman historia ulottuu 1800-luvulle saakka. Paremmin tunnetuksi hajotelma tuli kuitenkin vasta 1930-luvun lopulla, kun Eckart ja Young esittivät hajotelman ei-neliömatriiseille. Tämänkin jälkeen hajotelmaa pidettiin vielä melko tuntemattomana ja teoreettisena käsitteenä, kunnes 1960-luvun lopulla Golub esitteli tehokkaan menetelmän hajotelman laskemiseksi tietokoneella.
Tässä tutkielmassa esitellään singulaariarvohajotelman perusominaisuuksia ja mm. singulaariarvoihin liittyviä epäyhtälöitä. Lisäksi näytetään, miten hajotelman avulla voidaan laskea matriisin optimaalisia, alempiasteisia approksimaatioita ja miten eri ominaisuuksia omaavat yleistetyt käänteismatriisit ovat laskettavissa hajotelmaa käyttämällä. Lopuksi tutkielmassa esitellään kolme singulaariarvohajotelman merkittävää sovellusta tilastotieteessä. Nämä ovat regressioanalyysiin liittyvä pienimmän neliösumman menetelmä ja tilastollisiin monimuuttujamenetelmiin lukeutuvat pääkomponentti- ja faktorianalyysi.
Asiasanat: Matriisiapproksimointi, monimuuttujamenetelmät, regressioanalyysi, singulaariarvo, singulaarivektori, yleistetty käänteismatriisi
Singulaariarvohajotelman historia ulottuu 1800-luvulle saakka. Paremmin tunnetuksi hajotelma tuli kuitenkin vasta 1930-luvun lopulla, kun Eckart ja Young esittivät hajotelman ei-neliömatriiseille. Tämänkin jälkeen hajotelmaa pidettiin vielä melko tuntemattomana ja teoreettisena käsitteenä, kunnes 1960-luvun lopulla Golub esitteli tehokkaan menetelmän hajotelman laskemiseksi tietokoneella.
Tässä tutkielmassa esitellään singulaariarvohajotelman perusominaisuuksia ja mm. singulaariarvoihin liittyviä epäyhtälöitä. Lisäksi näytetään, miten hajotelman avulla voidaan laskea matriisin optimaalisia, alempiasteisia approksimaatioita ja miten eri ominaisuuksia omaavat yleistetyt käänteismatriisit ovat laskettavissa hajotelmaa käyttämällä. Lopuksi tutkielmassa esitellään kolme singulaariarvohajotelman merkittävää sovellusta tilastotieteessä. Nämä ovat regressioanalyysiin liittyvä pienimmän neliösumman menetelmä ja tilastollisiin monimuuttujamenetelmiin lukeutuvat pääkomponentti- ja faktorianalyysi.
Asiasanat: Matriisiapproksimointi, monimuuttujamenetelmät, regressioanalyysi, singulaariarvo, singulaarivektori, yleistetty käänteismatriisi