Yhtenäistettyjen yhteenlaskukaavojen käyttö elliptiseen kryptosysteemiin kohdistuvan yksinkertaisen sivukanavahyökkäyksen torjunnassa
HAKALA, SAKARI (2008)
2008
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2008-05-14
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18097
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18097
Tiivistelmä
Elliptisten käyrien tutkiminen on ollut lukuteorian suosituimpia aloja viime vuosina. Tässä tutkielmassa keskitymme käsittelemään pelkästään elliptisten käyrien kryptografisia ominaisuuksia ja erityisesti elliptisten käyrien yhtenäistettyjä yhteenlaskukaavoja.
Tutkielma jäsentyy seuraavasti. Luvussa 1 esittelemme joitakin esitietoina tarvittavia käsitteitä. Luvussa 2 tutustumme aluksi affiiniin ja projektiiviseen koordinaatistoon, jonka jälkeen määrittelemme Weierstrassin yhtälön ja tämän diskriminantin. Luvun lopuksi määrittelemme elliptisen käyrän yli kunnan F, sekä käsittelemme konkreettisen esimerkin elliptisestä käyrästä. Luku 3 käsittelee elliptisten käyrien yhteenlaskua. Aluksi esittelemme geometrisen tulkinnan yhteenlaskusta elliptisellä käyrällä yli reaalilukujenkunnan R, jonka jälkeen annamme yleisen määritelmän elliptisten käyrien yhteenlaskulle. Seuraavaksi johdamme algebralliset yhteenlaskukaavat määritelmästä. Luvun lopuksi esittelemme käytännössä esiintyvän ''double and add''- algoritmin, sekä laskemme joitain konkreettisia esimerkkejä. Kryptografiasta on lyhyt kuvaus luvussa 4. Samassa kappaleessa määrittelemme myös diskreetin logaritmin ongelman. Seuraavaksi tarkastelemme elliptisiä kryptosysteemejä yleisesti. Tämän jälkeen tutustumme sivukanavahyökkäyksiin. Lopuksi luvussa 5 pääsemme käsittelemään elliptiseen kryptosysteemiin kohdistuvan yksinkertaisen sivukanavahyökkäyksen torjuntaa yleisesti, sekä yksityiskohtaisemmin yhtenäistettyjä yhteenlaskukaavoja.
Tutkielman päälähteinä on käytetty kirjoja Koblitz: Algebraic aspects of cryptography ja Silverman: The arithmetic of elliptic curves sekä raportteja Brier, Joye: Weierstrass elliptic curves and side-channel attacks ja Brier, Déchène, Joye: Unified point addition formulae for elliptic curve cryptosystems. Lukijalta oletetaan esitietoina Tampereen yliopiston kurssien Algebra I ja II tietojen tuntemista.
Tutkielma jäsentyy seuraavasti. Luvussa 1 esittelemme joitakin esitietoina tarvittavia käsitteitä. Luvussa 2 tutustumme aluksi affiiniin ja projektiiviseen koordinaatistoon, jonka jälkeen määrittelemme Weierstrassin yhtälön ja tämän diskriminantin. Luvun lopuksi määrittelemme elliptisen käyrän yli kunnan F, sekä käsittelemme konkreettisen esimerkin elliptisestä käyrästä. Luku 3 käsittelee elliptisten käyrien yhteenlaskua. Aluksi esittelemme geometrisen tulkinnan yhteenlaskusta elliptisellä käyrällä yli reaalilukujenkunnan R, jonka jälkeen annamme yleisen määritelmän elliptisten käyrien yhteenlaskulle. Seuraavaksi johdamme algebralliset yhteenlaskukaavat määritelmästä. Luvun lopuksi esittelemme käytännössä esiintyvän ''double and add''- algoritmin, sekä laskemme joitain konkreettisia esimerkkejä. Kryptografiasta on lyhyt kuvaus luvussa 4. Samassa kappaleessa määrittelemme myös diskreetin logaritmin ongelman. Seuraavaksi tarkastelemme elliptisiä kryptosysteemejä yleisesti. Tämän jälkeen tutustumme sivukanavahyökkäyksiin. Lopuksi luvussa 5 pääsemme käsittelemään elliptiseen kryptosysteemiin kohdistuvan yksinkertaisen sivukanavahyökkäyksen torjuntaa yleisesti, sekä yksityiskohtaisemmin yhtenäistettyjä yhteenlaskukaavoja.
Tutkielman päälähteinä on käytetty kirjoja Koblitz: Algebraic aspects of cryptography ja Silverman: The arithmetic of elliptic curves sekä raportteja Brier, Joye: Weierstrass elliptic curves and side-channel attacks ja Brier, Déchène, Joye: Unified point addition formulae for elliptic curve cryptosystems. Lukijalta oletetaan esitietoina Tampereen yliopiston kurssien Algebra I ja II tietojen tuntemista.