Fourier-muunnoksesta
NIEMELÄ, EERO (2008)
2008
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2008-05-05
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18059
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18059
Tiivistelmä
Tutkielman aiheena on Fourier-muunnoksen esittely. Tarkoituksena on erityisesti johdatella lukija Fourier-sarjan ja -muunnoksen käsitteisiin. Fourier-muunnosten teoria kuuluu yleisempään Fourier-analyysin aihepiiriin. Fourier-analyysin keskiössä on tulos, jonka mukaan tietyt ehdot täyttävää funktiota voidaan approksimoida mielivaltaisen tarkasti niin sanotun Fourier-sarjan avulla.
Osoitamme, että 2\pi-jaksollisen funktion Lebesgue-neliöintegroituvuus takaa suppenevan Fourier-sarjakehitelmän olemassaolon. Tällöin funktion Fourier-sarja on painotettu summa kompleksisia eksponenttifunktioita, jotka muodostavat ortogonaalisen kannan Lebesgue-neliöintegroituvien funktioiden avaruudelle L2. Määrittelemme Fourier-muunnoksen myös ei-jaksolliselle funktiolle f\in L2. Lisäksi esittelemme lyhyesti diskreetin Fourier-muunnoksen.
Tutkielman tärkeimpien tulosten kannalta on erittäin keskeistä, että L2 on Hilbertin avaruus. Esimerkiksi kompleksisten eksponentiaalifunktioiden joukon ortogonaalisuus ei ole luontevasti määriteltävissä ilman Hilbertin avaruuden käsitettä. Todistamme myös, että Fourier-muunnos on isomorfismi avaruudelta L2 avaruuteen L2.
Asiasanat: Fourier-muunnos, Fourier-sarja, Hilbertin avaruus
Osoitamme, että 2\pi-jaksollisen funktion Lebesgue-neliöintegroituvuus takaa suppenevan Fourier-sarjakehitelmän olemassaolon. Tällöin funktion Fourier-sarja on painotettu summa kompleksisia eksponenttifunktioita, jotka muodostavat ortogonaalisen kannan Lebesgue-neliöintegroituvien funktioiden avaruudelle L2. Määrittelemme Fourier-muunnoksen myös ei-jaksolliselle funktiolle f\in L2. Lisäksi esittelemme lyhyesti diskreetin Fourier-muunnoksen.
Tutkielman tärkeimpien tulosten kannalta on erittäin keskeistä, että L2 on Hilbertin avaruus. Esimerkiksi kompleksisten eksponentiaalifunktioiden joukon ortogonaalisuus ei ole luontevasti määriteltävissä ilman Hilbertin avaruuden käsitettä. Todistamme myös, että Fourier-muunnos on isomorfismi avaruudelta L2 avaruuteen L2.
Asiasanat: Fourier-muunnos, Fourier-sarja, Hilbertin avaruus