Äärellisistä kunnista
KUUSISTO, TOMMI (2008)
2008
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2008-05-05
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18049
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-18049
Tiivistelmä
Algebra on yksi matematiikan päähaaroista. Sen tutkimuskohteina ovat lukujen ja laskutoimitusten yleiset ominaisuudet. Tutkimus onkin ollut viime vuosikymmeninä vilkasta.
Tämän työn tarkoituksena on esitellä äärellisiä kuntia ja niiden ominaisuuksia. Äärellisten kuntien tutkimus on yksi modernin algebran tutkimuskohteista. Äärelliset kunnat ovat tärkeässä osassa myös nyky-yhteiskunnassa. Suuri osa ihmisistä on käyttänyt esimerkiksi verkkopankin palveluita, joissa salataan tietoliikenne turvallisen käytön takaamiseksi. Tämän tyyppisten sovellusten tutkimiseen on käytetty paljon aikaa, ja äärellisten kuntien tutkiminen on yksi sen tärkeä osa-alue.
Työssä esitetään aluksi työn kannalta tärkeitä algebran peruskäsitteitä, kuten algebrallinen
struktuuri, ryhmä ja rengas. Seuraavaksi perehdytään kuntiin ja tarkemmin äärellisiin kuntiin. Tämän jälkeen käsitellään kuntalaajennuksia, äärellisten kuntien ominaisuuksia, sekä lopuksi puhutaan hieman kryptologiasta ja sen käytöstä ennen ja nykyään.
Tutkielman rakenne noudattaa pääosin Lidlin ja Niederreiterin kirjan Finite Fields lukuja 1
ja 2.1.
Tämän työn tarkoituksena on esitellä äärellisiä kuntia ja niiden ominaisuuksia. Äärellisten kuntien tutkimus on yksi modernin algebran tutkimuskohteista. Äärelliset kunnat ovat tärkeässä osassa myös nyky-yhteiskunnassa. Suuri osa ihmisistä on käyttänyt esimerkiksi verkkopankin palveluita, joissa salataan tietoliikenne turvallisen käytön takaamiseksi. Tämän tyyppisten sovellusten tutkimiseen on käytetty paljon aikaa, ja äärellisten kuntien tutkiminen on yksi sen tärkeä osa-alue.
Työssä esitetään aluksi työn kannalta tärkeitä algebran peruskäsitteitä, kuten algebrallinen
struktuuri, ryhmä ja rengas. Seuraavaksi perehdytään kuntiin ja tarkemmin äärellisiin kuntiin. Tämän jälkeen käsitellään kuntalaajennuksia, äärellisten kuntien ominaisuuksia, sekä lopuksi puhutaan hieman kryptologiasta ja sen käytöstä ennen ja nykyään.
Tutkielman rakenne noudattaa pääosin Lidlin ja Niederreiterin kirjan Finite Fields lukuja 1
ja 2.1.