Sarjojen suppenemisesta

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään reaalilukujonoja ja reaalilukusarjoja ja erityisesti niiden suppenemista. Luvussa 2 lukujonolle ja lukujonon suppenemiselle annetaan määritelmät ja esitetään lukujonon suppenemiselle riittäviä ja välttämättömiä ehtoja. Tullaan myös todistamaan, että lukujono suppenee vain yhteen lukuun ja että jokainen suppeneva lukujono on rajoitettu. Lisäksi annetaan esimerkkejä sekä suppenevista että hajaantuvista lukujonoista. Päähuomio on reaalilukusarjojen tarkastelussa. Niitä käsitellään luvussa 3. Sarjalle ja sarjan suppenemiselle annetaan määritelmät. Sarjojen suppenemiselle todistetaan riittäviä ja välttämättömiä ehtoja. Erityisesti tarkastellaan suppenevien vaihtelevatermisten sarjojen termien itseisarvoista muodostuvien sarjojen suppenemista. Tällaisia suppenevia sarjoja kutsutaan itseisesti suppeneviksi, jos termien itseisarvoista muodostettu sarja suppenee. Vastaavasti niitä kutsutaan ehdollisesti suppeneviksi, jos termien itseisarvoista muodostettu sarja ei suppene. Tämän tutkielman päätuloksena tullaan osoittamaan, että ehdollisesti suppeneva sarja saadaan suppenemaan mihin tahansa haluttuun reaalilukuun. Lähdekirjallisuutena on pääasiassa käytetty Edward D. Gaughanin teosta Introduction to analysis.