Riemannin kuvauslause
EK, VELI-MATTI (2008)
2008
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2008-02-05
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-17647
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-17647
Tiivistelmä
Riemannin kuvauslause antaa riittävät ehdot tasoalueen kuvaamiseksi konformisesti yksikkökiekolle. Sen mukaan yhdesti yhtenäisessä alueessa eli reiättömässä ja avoimessa joukossa kompleksitasossa, joka ei ole kuitenkaan koko kompleksitaso, on olemassa holomorfinen injektio, joka kuvaa alueen konformisesti yksikkökiekolle. Kuvaus voidaan valita siten, että mielivaltainen alueen piste kuvautuu kiekon keskipisteeksi.
Todistuksessa ratkaistaan ekstremaaliongelma tietyssä holomorfisten funktioiden luokassa. Tähän luokkaan kuuluvilla funktioilla on seuraavat ominaisuudet: kiinnitetyssä pisteessä funktio saa arvon nolla, funktio on holomorfinen injektio ja sen itseisarvot ovat pienempiä kuin 1 koko alueessa. Itse todistus tapahtuu neljässä vaiheessa.
Ensin osoitetaan, että edellä mainittu luokka ei ole tyhjä. Toiseksi luokan jokaisen funktion derivaatta on rajoitettu kiinnitetyssä keskipisteessä. Kolmanneksi osoitetaan, että on olemassa tietty funkio, jonka itseisarvo on maksimaalinen ja neljänneksi, että tämä funktio on juuri kuvauslauseen konformikuvaus.
Todistuksen kannalta keskeisiä tuloksia ovat Arzelan-Ascolin lause, Cauchyn integraalikaava, maksimiperiaate, Schwarzin lemma sekä Rouchén lause, jotka todistetaan täsmällisesti.
Asiasanat: Bernhard Riemann, kompleksianalyysi, Riemannin kuvauslause
Todistuksessa ratkaistaan ekstremaaliongelma tietyssä holomorfisten funktioiden luokassa. Tähän luokkaan kuuluvilla funktioilla on seuraavat ominaisuudet: kiinnitetyssä pisteessä funktio saa arvon nolla, funktio on holomorfinen injektio ja sen itseisarvot ovat pienempiä kuin 1 koko alueessa. Itse todistus tapahtuu neljässä vaiheessa.
Ensin osoitetaan, että edellä mainittu luokka ei ole tyhjä. Toiseksi luokan jokaisen funktion derivaatta on rajoitettu kiinnitetyssä keskipisteessä. Kolmanneksi osoitetaan, että on olemassa tietty funkio, jonka itseisarvo on maksimaalinen ja neljänneksi, että tämä funktio on juuri kuvauslauseen konformikuvaus.
Todistuksen kannalta keskeisiä tuloksia ovat Arzelan-Ascolin lause, Cauchyn integraalikaava, maksimiperiaate, Schwarzin lemma sekä Rouchén lause, jotka todistetaan täsmällisesti.
Asiasanat: Bernhard Riemann, kompleksianalyysi, Riemannin kuvauslause