Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin
KANANOJA, HEIDI (2007)
2007
Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2007-10-08
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-17287
https://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-17287
Tiivistelmä
Tutkielmassa tarkastellaan äärellisiä kuntia ja polynomeja. Päälähdeteoksena käytetään Lidlin ja Niederreiterin kirjaa Introduction to finite fields and their applications.
Aluksi määritellään polynomeihin ja äärellisiin kuntiin liittyviä peruskäsitteitä kuten minimaalipolynomi, kuntalaajennus ja hajoamiskunta sekä todistetaan niiden ominaisuuksia. Näitä määritelmiä ja lauseita tarvitaan myöhemmissä luvuissa.
Seuraavaksi tarkastellaan äärellisiä kuntia tarkemmin. Ensimmäisessä aliluvussa käsitellään erityisesti alkioiden lukumäärää, todistetaan äärellisten kuntien olemassaolo ja yksikäsitteisyys sekä alikuntakriteeri ja määritellään primitiivinen alkio. Toisessa aliluvussa keskitytään jaottomien polynomien yli äärellisten kuntien juuriin. Kolmannessa aliluvussa määritellään käsitteet syklotominen kunta ja polynomi sekä ykkösen juuri, ja todistetaan joitain näiden perusominaisuuksia.
Seuraavassa luvussa tutkitaan tarkemmin polynomeja yli äärellisten kuntien. Ensimmäisessä aliluvussa keskitytään polynomin kertaluvun käsitteeseen ja todistetaan siihen liittyviä ominaisuuksia. Pykälän lopussa määritellään myös primitiivinen polynomi. Toisessa aliluvussa esitellään sellaisia jaottomien polynomien ominaisuuksia, joita ei tutkielmassa aikaisemmin ole käsitelty. Pykälässä tutkitaan ennen kaikkea jaottomien pääpolynomien lukumäärää ja tuloa annetussa polynomirenkaassa. Lisäksi palataan syklotomisiin polynomeihin ja tehdään yhteenveto minimaalipolynomien keskeisimmistä ominaisuuksista.
Viimeinen luku keskittyy polynomien jakoon alkutekijöihin kahden algoritmin avulla. Ensimmäisen aliluvun Berlekampin algoritmi soveltuu paremmin, kun tekijöihinjako suoritetaan yli pienten äärellisten kuntien. Vastaavasti Zassenhausin algoritmi toisessa aliluvussa on käyttökelpoisempi, kun tekijöihinjako suoritetaan yli suurten äärellisten kuntien.
Aluksi määritellään polynomeihin ja äärellisiin kuntiin liittyviä peruskäsitteitä kuten minimaalipolynomi, kuntalaajennus ja hajoamiskunta sekä todistetaan niiden ominaisuuksia. Näitä määritelmiä ja lauseita tarvitaan myöhemmissä luvuissa.
Seuraavaksi tarkastellaan äärellisiä kuntia tarkemmin. Ensimmäisessä aliluvussa käsitellään erityisesti alkioiden lukumäärää, todistetaan äärellisten kuntien olemassaolo ja yksikäsitteisyys sekä alikuntakriteeri ja määritellään primitiivinen alkio. Toisessa aliluvussa keskitytään jaottomien polynomien yli äärellisten kuntien juuriin. Kolmannessa aliluvussa määritellään käsitteet syklotominen kunta ja polynomi sekä ykkösen juuri, ja todistetaan joitain näiden perusominaisuuksia.
Seuraavassa luvussa tutkitaan tarkemmin polynomeja yli äärellisten kuntien. Ensimmäisessä aliluvussa keskitytään polynomin kertaluvun käsitteeseen ja todistetaan siihen liittyviä ominaisuuksia. Pykälän lopussa määritellään myös primitiivinen polynomi. Toisessa aliluvussa esitellään sellaisia jaottomien polynomien ominaisuuksia, joita ei tutkielmassa aikaisemmin ole käsitelty. Pykälässä tutkitaan ennen kaikkea jaottomien pääpolynomien lukumäärää ja tuloa annetussa polynomirenkaassa. Lisäksi palataan syklotomisiin polynomeihin ja tehdään yhteenveto minimaalipolynomien keskeisimmistä ominaisuuksista.
Viimeinen luku keskittyy polynomien jakoon alkutekijöihin kahden algoritmin avulla. Ensimmäisen aliluvun Berlekampin algoritmi soveltuu paremmin, kun tekijöihinjako suoritetaan yli pienten äärellisten kuntien. Vastaavasti Zassenhausin algoritmi toisessa aliluvussa on käyttökelpoisempi, kun tekijöihinjako suoritetaan yli suurten äärellisten kuntien.