Ketjumurtoluvuista
LINJA, SOILE (2007)
2007
Matematiikka - Mathematics
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2007-05-28
Julkaisun pysyvä osoite on
http://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-16889
http://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-16889
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa tarkastellaan ketjumurtolukuja, niiden ominaisuuksia sekä yhtä ketjumurtolukujen sovellusta, Pellin yhtälöä.
Ensimmäisessä luvussa tutkitaan äärellisiä ketjumurtolukuja. Ensin esitetään näitä ketjumurtolukuja koskevia keskeisiä määritelmiä. Lopuksi todistetaan, että jokainen yksinkertainen äärellinen ketjumurtoluku esittää rationaalilukua ja että jokainen rationaaliluku taas vastaa yksinkertaista äärellistä ketjumurtolukua.
Toisessa luvussa määritellään ketjumurtolukujen konvergentit. Lisäksi todistetaan lause, joka antaa menetelmän konvergenttien muodostamiseksi. Toisen luvun lopussa tarkastellaan lauseita, joissa esitetään konvergenttien tärkeimpiä ominaisuuksia.
Kolmannessa luvussa käsitellään äärettömien ketjumurtolukujen sekä irrationaalilukujen vastaavuutta. Tässä luvussa osoitetaan, että jokainen yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku vastaa irrationaalilukua ja että vastaavasti jokainen irrationaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti yksinkertaisena äärettömänä ketjumurtolukuna. Kolmannen luvun lopuksi perehdytään irrationaalilukujen approksimointiin.
Neljännen luvun alussa määritellään kvadraattiset irrationaaliluvut ja tarkastellaan niiden ominaisuuksia. Luvun toisessa pykälässä osoitetaan kvadraattisten irrationaalilukujen ja jaksollisten ketjumurtolukujen välinen yhteys. Lisäksi neljännessä luvussa osoitetaan redusoitujen kvadraattisten irrationaalilukujen ja täysin jaksollisten ketjumurtolukujen vastaavuus.
Tutkielman viimeisessä luvussa perehdytään Pellin yhtälöön. Aluksi tarkastellaan, mikä asema ketjumurtolukujen konvergenteilla on Pellin yhtälöä ratkaistaessa. Lopuksi määritellään Pellin yhtälön perusratkaisu ja tutkitaan yhtälön kaikkien positiivisten ratkaisujen muodostamista.
Tutkielman päälähteinä on käytetty Kenneth H. Rosenin teosta Elementary Number Theory and Its Applications, Calvin T. Longin teosta Elementary Introduction to Number Theory sekä David M. Burtonin teosta Elementary Number Theory.
Ensimmäisessä luvussa tutkitaan äärellisiä ketjumurtolukuja. Ensin esitetään näitä ketjumurtolukuja koskevia keskeisiä määritelmiä. Lopuksi todistetaan, että jokainen yksinkertainen äärellinen ketjumurtoluku esittää rationaalilukua ja että jokainen rationaaliluku taas vastaa yksinkertaista äärellistä ketjumurtolukua.
Toisessa luvussa määritellään ketjumurtolukujen konvergentit. Lisäksi todistetaan lause, joka antaa menetelmän konvergenttien muodostamiseksi. Toisen luvun lopussa tarkastellaan lauseita, joissa esitetään konvergenttien tärkeimpiä ominaisuuksia.
Kolmannessa luvussa käsitellään äärettömien ketjumurtolukujen sekä irrationaalilukujen vastaavuutta. Tässä luvussa osoitetaan, että jokainen yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku vastaa irrationaalilukua ja että vastaavasti jokainen irrationaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti yksinkertaisena äärettömänä ketjumurtolukuna. Kolmannen luvun lopuksi perehdytään irrationaalilukujen approksimointiin.
Neljännen luvun alussa määritellään kvadraattiset irrationaaliluvut ja tarkastellaan niiden ominaisuuksia. Luvun toisessa pykälässä osoitetaan kvadraattisten irrationaalilukujen ja jaksollisten ketjumurtolukujen välinen yhteys. Lisäksi neljännessä luvussa osoitetaan redusoitujen kvadraattisten irrationaalilukujen ja täysin jaksollisten ketjumurtolukujen vastaavuus.
Tutkielman viimeisessä luvussa perehdytään Pellin yhtälöön. Aluksi tarkastellaan, mikä asema ketjumurtolukujen konvergenteilla on Pellin yhtälöä ratkaistaessa. Lopuksi määritellään Pellin yhtälön perusratkaisu ja tutkitaan yhtälön kaikkien positiivisten ratkaisujen muodostamista.
Tutkielman päälähteinä on käytetty Kenneth H. Rosenin teosta Elementary Number Theory and Its Applications, Calvin T. Longin teosta Elementary Introduction to Number Theory sekä David M. Burtonin teosta Elementary Number Theory.