Aritmeettisten funktioiden konvoluutioista

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee aritmeettisten funktioiden konvoluutioita. Ensimmäisen luvun osassa yksi on määritelty K-konvoluutio ja hyödyllisiä funktioita. Osassa kaksi tutustutaan tutkielman perustana olevaan K-konvoluutioon ja sen eri ominaisuuksiin, joita ovat ykkösfunktio, multiplikatiivisuus, assosiatiivisuus, kommutatiivisuus ja käänteisfunktio. Osa kolme laajentaa K-konvoluutiota uusin määritelmin ja antaa sille säännöllisyyttä. Osissa neljä ja viisi näytetään yhteys säännöllisen aritmeettisen konvoluution ja joidenkin klassisten aritmeettisten funktioiden välillä, esimerkiksi Eulerin funktion ja Ramanujanin summan välillä. Toisessa luvussa määritellään binomikonvoluutio ja verrataan luvun yksi K-konvoluution todistuksia ja sen perusominaisuuksia binomikonvoluution vastaaviin ominaisuuksiin. Edelleen toisessa luvussa määritellään eksponentiaalinen generoiva funktio, joka on käytännöllinen työkalu tutkittaessa binomikonvoluutiota. Lisäksi tutustutaan käänteislauseeseen ja täydellisesti multiplikatiivisiin funktioihin. Liitteessä on kerrottu K-konvoluution historiasta. Päälähdeteoksina tutkielmassa ovat Paul J. McCarthyn kirja Introduction to arithmetical functions ja Pentti Haukkasen artikkeli On a binomial convolution of arithmetical functions.

Asiasanat: lukuteoria, aritmeettinen funktio, aritmeettinen konvoluutio, binomikonvoluutio