Riemannin ζ-funktio ja sen sovelluksia

Abstract

Riemannin ζ-funktio on yksi merkittävimmistä funktioista matematiikan alueella. Se esiteltiin kahdeksansivuisessa artikkelissa "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Grösse", jonka Riemann kirjoitti kiitokseksi Berliinin tiedeakatemialle. Tästä artikkelista on tullut analyyttisen lukuteorian kulmakivi.

Johdannon ja esitietoluvun jälkeen käsittelemme kolmannessa luvussa Eulerin Γ-funktiota, mikä on keskeinen osa ζ-funktion teoriaa. Ensiksi todistamme Γ-funktion perusominaisuuksia, kuten funktionaaliyhtälöitä, Γ-funktion integraaliesityksen ja Legendren kahdentamiskaavan sekä Bohrin-Mollerupin lauseen. Näiden tulosten jälkeen todistamme Stirlingin kaavan aluksi reaalitapauksessa, jonka jälkeen laajennamme sen kompleksitasoon. Lopuksi todistamme yhteyden betafunktion ja Γ-funktion välille.

Neljäs luku on tutkimuksen keskeisin osa. Aluksi todistamme ζ-funktion perustuloksia, kuten Eulerin tulokaavan, integraaliesityksen ζ-funktiolle ja analyyttisen jatkon koko kompleksitasoon. Tämän jälkeen käymme läpi viisi todistusta Riemannin funktionaaliyhtälölle, jonka jälkeen esitämme yhteenvedon todistuksista.

Tutkimuksen vähiten tunnettu tulos on Vepsäläisen todistama ζ-funktion raja-arvoesitys. Se sisältää myös mielenkiintoisia avoimia kysymyksiä. Raja-arvoesityksen jälkeen keskitymme alkulukulauseen todistamiseen, mikä oli myös Riemannin tutkimusten pääkohde.

Viimeiset kaksi kokonaisuutta koskettavat ζ-funktion momentteja ja esittelemme hieman Lindelöfin vaikutusta ζ-funktion teoriaan. Aluksi esitämme muutaman seurauslauseen, jotka liittyvät toiseen, neljänteen ja 2k:teen momenttiin. Loppuosiossa keskitymme laajentamaan näiden tulosten määrittelyjoukkoa. Viimeiseksi esittelemme Lindelöfin lauseen ja hypoteesin, jotka ovat kiinteästi yhteydessä Riemannin ζ-funktion teoriaan.