Numeeriseen integrointiin perustuvista differentiaaliyhtälön ratkaisumenetelmistä ja niiden opettamisesta

Abstract

Hakutermit: separoituva differentiaaliyhtälö, numeeriset menetelmät, numeeristen menetelmien opetus

Tutkimuksessa tarkastellaan sekä numeeriseen integrointiin perustuvien menetelmien hyvyyttä differentiaaliyhtälön alkuarvo-ongelman numeerisessa ratkaisussa että mitä pitäisi opettaa differentiaaliyhtälöistä ja numeerisista menetelmistä suoraan peruskoulusta osa-aikaisesti it-alan työelämään siirtyville opiskelijoille.

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisun tarkastelussa keskitytään separoituviin differentiaaliyhtälöihin ja lineaariseen differentiaaliyhtälöön, koska ne ratkeavat integroimalla.

Separoituville differentiaaliyhtälöille esitetään Newtonin menetelmän ja numeerisen integroinnin yhdistävä ratkaisualgoritmi, joka on helposti toteutettavissa laskimen näppäilysarjana ja ohjelmointikielillä. Nopeusvertailujen perustella Gaussin integrointiin yhdistetty Newtonin menetelmä oli yleensä nopeampi kuin verrokkina käytetty Rungen-Kuttan menetelmä, kun integrointiin perustuvaa algoritmia on tuettu suppenemista ja integroinnin tarkkuutta ylläpitävillä kontrollirakenteilla. Ensimmäisen kertaluvun lineaariselle yhtälölle tunnetaan yleisesti analyyttinen integrointeihin perustuva ratkaisu, jonka numeerinen ratkaisu oli myös verrokkia nopeampi.

Toisen kertaluvun yhtälöiden osalta tarkastellaan joitakin erikoistapauksia, mutta niissä ei yleisesti havaittu vastaavaa nopeusetua kuin ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden numeerisessa ratkaisemisessa.

Tutkimuksessa kuvataan myös Päivölän kansanopiston matematiikkalinjan kesälukukauden osalta erityisesti sen numeerisiin menetelmiin keskittyvän viimeisen opiskeluviikon osalta. Teollisiin esimerkkien perustuvana opetuksen tavoitteena on yhtälön ja yhtälöryhmien ratkaiseminen, ratkaisujen tarkkuuden ja yksikäsitteisyyden osoitusmenetelmät, numeerisen integrointi, separoituvien differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen sekä analyyttisesti että numeerisesti ja antaa kyky ohjelmoida lausekkeita liukuluvuille mielekkäästi ja ohjelmoida numeeriset ratkaisut ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöille sekä ymmärtää askelpituuden muutoksen vaikutus Eulerin ja Rungen-Kuttan menetelmää soveltavia simulointimalleja käyttäessä.