On Meet and Join Matrices Associated with Incidence Functions

Abstract

Lukuteoriassa SYT-matriisilla tarkoitetaan n x n matriisia, jonka jokainen alkio on vastaavan rivi- ja sarakenumeron suurin yhteinen tekijä (syt). SYT-matriisien teoria alkoi H.J.S. Smithin vuonna 1876 lehdessä Proc. London Math. Soc. julkaisemasta artikkelista, jossa esitettiin mm. SYT-matriisin determinantille kaava g(1)g(2)g(3)...g(n). Kaavassa g(i) kertoo sen, kuinka moni i:tä pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista on suhteellinen alkuluku i:n kanssa. SYT-matriisin käsitteeseen voidaan liittää myös jokin positiivisten kokonaislukujen joukko S = {x1, x2, , xn} ja funktio f. Tällöin joukkoa S ja funktiota f vastaavan SYT-matriisin ij. alkio on f(syt(xi, xj)). Vastaavasti määritellään PYJ-matriisi. Kun SYT- ja PYJ-matriisien määritelmissä tavanomainen jaollisuus korvataan ns. unitaarisella jaollisuudella, puhutaan SYUT- ja PYUJ-matriiseista.

Positiivisten kokonaislukujen joukko varustettuna syt:llä ja pyj:llä muodostaa ns. hilan, joten SYT- ja PYJ-matriisien sijaan voidaan tarkastella niiden hilateoreettisia yleistyksiä. Yleistys suoritetaan korvaamalla positiivisten kokonaislukujen joukko osittain järjestetyllä joukolla, syt suurimmalla alarajalla (meet) ja pyj pienimmällä ylärajalla (join). Lisäksi S ja f korvataan yleisemmällä joukolla ja funktiolla. Näin saatuja matriiseja kutsutaan meet- ja join-matriiseiksi.

Tämä tutkimus koostuu yhteenveto-osasta ja kuudesta artikkelista. Tutkimuksen päätarkoitus on osoittaa hilateorian hyödyllisyys matematiikan toisen osa-alueen, tässä tapauksessa lukuteorian, tutkimuksessa.

Tutkimuksessa keskitytään pääasiassa meet- ja join-matriisien determinantteihin ja käänteismatriiseihin, kun S ja f kuuluvat tiettyihin joukko- ja funktioluokkiin. Ensimmäisessä artikkelissa johdetaan kaavat mm. meet-matriisin determinantin ala- ja ylärajoille sekä kaava käänteismatriisille. Työn merkittävin osa lienee artikkeleista toinen, jossa edellä mainitut kaavat johdetaan myös join-matriiseille käyttäen hyväksi hilan duaalisuutta. Olettamalla funktio f semi-multiplikatiiviseksi saadaan kaavoja vielä monipuolisemmissa joukkoluokissa S. Kolmannessa artikkelissa esitetään menetelmä, jolla voidaan vapautua joukkoa S koskevista rajoitteista. Neljännessä artikkelissa osoitetaan, että meet-matriisit ovat vielä yleisemmän matriisiluokan aliluokka, ja johdetaan uusia determinantti- ja käänteismatriisikaavoja myös tällaisille matriiseille. Viidennessä artikkelissa osoitetaan, että positiivisten kokonaislukujen joukko sopivasti täydennettynä ja varustettuna syut:llä ja pyuj:llä muodostaa myös hilan. Lisäksi tässä artikkelissa johdetaan käänteismatriisikaavoissa esiintyvälle Möbiuksen funktiolle uusi vaihtoehtoinen esitysmuoto. Kuudennessa artikkelissa osoitetaan, että joukon S hilateoreettisella rakenteella on suuri merkitys siihen, milloin join-matriisi on jaollinen vastaavan meet-matriisin kanssa kokonaislukumatriisien joukossa. Tällaisia joukkoja voidaan luoda induktiivisesti kahden annetun algoritmin avulla.

Koska SYT- ja PYJ-matriisit sekä SYUT- ja PYUJ-matriisit kuuluvat meet- ja join-matriiseihin, niin tässä työssä hilateoreettisella tasolla saavutetut tulokset ovat voimassa myös perinteisessä lukuteoreettisessa tarkasteluympäristössään. Tutkimuksen tulokset kattavat suurimman osan SYT- ja PYJ-matriiseja koskevasta tietämyksestä, ja myös runsaasti uuttakin tietoa saavutetaan. Tutkimus antaa moneen lukuteoreettisesti mutkikkaaseen tilanteeseen järkevän hilateoreettisen selityksen.