Hyppää sisältöön
    • Suomeksi
    • In English
Trepo
  • Suomeksi
  • In English
  • Kirjaudu
Näytä viite 
  •   Etusivu
  • Trepo
  • Väitöskirjat
  • Näytä viite
  •   Etusivu
  • Trepo
  • Väitöskirjat
  • Näytä viite
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.

On Meet and Join Matrices Associated with Incidence Functions

Korkee, Ismo (2006)

 
Avaa tiedosto
951-44-6617-9.pdf (244.3Kt)
Lataukset: 



Korkee, Ismo
Tampere University Press
2006

Matematiikka - Mathematics
Informaatiotieteiden tiedekunta - Faculty of Information Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Väitöspäivä
2006-05-06
Näytä kaikki kuvailutiedot
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/urn:isbn:951-44-6617-9
Tiivistelmä
Lukuteoriassa SYT-matriisilla tarkoitetaan n x n matriisia, jonka jokainen alkio on vastaavan rivi- ja sarakenumeron suurin yhteinen tekijä (syt). SYT-matriisien teoria alkoi H.J.S. Smithin vuonna 1876 lehdessä Proc. London Math. Soc. julkaisemasta artikkelista, jossa esitettiin mm. SYT-matriisin determinantille kaava g(1)g(2)g(3)...g(n). Kaavassa g(i) kertoo sen, kuinka moni i:tä pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista on suhteellinen alkuluku i:n kanssa. SYT-matriisin käsitteeseen voidaan liittää myös jokin positiivisten kokonaislukujen joukko S = {x1, x2, , xn} ja funktio f. Tällöin joukkoa S ja funktiota f vastaavan SYT-matriisin ij. alkio on f(syt(xi, xj)). Vastaavasti määritellään PYJ-matriisi. Kun SYT- ja PYJ-matriisien määritelmissä tavanomainen jaollisuus korvataan ns. unitaarisella jaollisuudella, puhutaan SYUT- ja PYUJ-matriiseista.

Positiivisten kokonaislukujen joukko varustettuna syt:llä ja pyj:llä muodostaa ns. hilan, joten SYT- ja PYJ-matriisien sijaan voidaan tarkastella niiden hilateoreettisia yleistyksiä. Yleistys suoritetaan korvaamalla positiivisten kokonaislukujen joukko osittain järjestetyllä joukolla, syt suurimmalla alarajalla (meet) ja pyj pienimmällä ylärajalla (join). Lisäksi S ja f korvataan yleisemmällä joukolla ja funktiolla. Näin saatuja matriiseja kutsutaan meet- ja join-matriiseiksi.

Tämä tutkimus koostuu yhteenveto-osasta ja kuudesta artikkelista. Tutkimuksen päätarkoitus on osoittaa hilateorian hyödyllisyys matematiikan toisen osa-alueen, tässä tapauksessa lukuteorian, tutkimuksessa.

Tutkimuksessa keskitytään pääasiassa meet- ja join-matriisien determinantteihin ja käänteismatriiseihin, kun S ja f kuuluvat tiettyihin joukko- ja funktioluokkiin. Ensimmäisessä artikkelissa johdetaan kaavat mm. meet-matriisin determinantin ala- ja ylärajoille sekä kaava käänteismatriisille. Työn merkittävin osa lienee artikkeleista toinen, jossa edellä mainitut kaavat johdetaan myös join-matriiseille käyttäen hyväksi hilan duaalisuutta. Olettamalla funktio f semi-multiplikatiiviseksi saadaan kaavoja vielä monipuolisemmissa joukkoluokissa S. Kolmannessa artikkelissa esitetään menetelmä, jolla voidaan vapautua joukkoa S koskevista rajoitteista. Neljännessä artikkelissa osoitetaan, että meet-matriisit ovat vielä yleisemmän matriisiluokan aliluokka, ja johdetaan uusia determinantti- ja käänteismatriisikaavoja myös tällaisille matriiseille. Viidennessä artikkelissa osoitetaan, että positiivisten kokonaislukujen joukko sopivasti täydennettynä ja varustettuna syut:llä ja pyuj:llä muodostaa myös hilan. Lisäksi tässä artikkelissa johdetaan käänteismatriisikaavoissa esiintyvälle Möbiuksen funktiolle uusi vaihtoehtoinen esitysmuoto. Kuudennessa artikkelissa osoitetaan, että joukon S hilateoreettisella rakenteella on suuri merkitys siihen, milloin join-matriisi on jaollinen vastaavan meet-matriisin kanssa kokonaislukumatriisien joukossa. Tällaisia joukkoja voidaan luoda induktiivisesti kahden annetun algoritmin avulla.

Koska SYT- ja PYJ-matriisit sekä SYUT- ja PYUJ-matriisit kuuluvat meet- ja join-matriiseihin, niin tässä työssä hilateoreettisella tasolla saavutetut tulokset ovat voimassa myös perinteisessä lukuteoreettisessa tarkasteluympäristössään. Tutkimuksen tulokset kattavat suurimman osan SYT- ja PYJ-matriiseja koskevasta tietämyksestä, ja myös runsaasti uuttakin tietoa saavutetaan. Tutkimus antaa moneen lukuteoreettisesti mutkikkaaseen tilanteeseen järkevän hilateoreettisen selityksen.
Kokoelmat
  • Väitöskirjat [4673]
Kalevantie 5
PL 617
33014 Tampereen yliopisto
oa[@]tuni.fi | Tietosuoja | Saavutettavuusseloste
 

 

Selaa kokoelmaa

TekijätNimekkeetTiedekunta (2019 -)Tiedekunta (- 2018)Tutkinto-ohjelmat ja opintosuunnatAvainsanatJulkaisuajatKokoelmat

Omat tiedot

Kirjaudu sisäänRekisteröidy
Kalevantie 5
PL 617
33014 Tampereen yliopisto
oa[@]tuni.fi | Tietosuoja | Saavutettavuusseloste