Johdatusta tavallisiin differentiaaliyhtälöihin ja niiden ratkaisumenetelmiin

Abstract

Tässä tutkielmassa tarkastellaan tavallisia differentiaaliyhtälöitä ja niiden keskeisiä ratkaisumenetelmiä. Työn tavoitteena on esitellä lukijalle ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden peruskäsitteet, alkuarvotehtävän merkitys sekä tavallisimpia menetelmiä, joilla tällaisia yhtälöitä voidaan ratkaista. Lisäksi tutkielmassa käsitellään korkeamman kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä ja niiden ratkaisuavaruuden rakennetta.

Tutkielma etenee ensin ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöihin. Aluksi määritellään differentiaaliyhtälö, ratkaisu ja alkuarvotehtävä. Tämän jälkeen tarkastellaan ratkaisun olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä sekä sitä, miten differentiaaliyhtälön ratkaisuja voidaan havainnollistaa geometrisesti suuntakenttien ja ratkaisukäyrien avulla. Ensimmäisen kertaluvun ratkaisumenetelmistä käsitellään separoituvia yhtälöitä, lineaarisia yhtälöitä ja eksakteja differentiaaliyhtälöitä. Näissä menetelmissä keskeistä on yhtälön muodon tunnistaminen ja siihen sopivan ratkaisumenetelmän valinta.

Työn loppuosassa tarkastellaan korkeamman kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Siinä esitellään lineaarisen yhtälön yleinen muoto, homogeenisen yhtälön ratkaisuavaruus, ratkaisujen lineaarinen riippumattomuus ja Wronskin determinantti. Lisäksi käsitellään epähomogeenisia yhtälöitä ja erityisratkaisun merkitystä. Tutkielman perusteella tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen rakentuu sekä matemaattisten käsitteiden täsmällisen ymmärtämisen että yhtälön rakenteen tunnistamisen varaan.