Parametrisoitujen käyrien kaarevuus ja torsio

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee parametrisoituja käyriä sekä niihin liittyviä käsitteitä kaarevuus ja torsio. Tutkielman lopussa tarkastellaan Frenet-Serret yhtälöitä. Tutkielman tavoite on, että lukija oppii, mitä ovat parametrisoidut käyrät, sekä osaa määrittää käyrän kaarevuuden ja torsion.

Luvussa 2 määritellään parametrisoitu käyrä. Tämän lisäksi esitetään parametrisoituihin käyriin liittyviä perusmääritelmiä ja muita tuloksia. Luvussa 3 määritellään käyrän kaarevuus sekä esitetään kaava kaarevuuden laskemiseksi. Luvussa 4 tarkastellaan käyrän torsiota, mikä kertoo, kuinka paljon käyrä eroaa jostakin tasosta. Vastaavasti esitetään yleinen kaava käyrän torsiolle. Lopuksi todistetaan Frenet-Serret yhtälöt ja selitetään miten niiden avulla voidaan löytää käyrien kaarevuus sekä torsio.