Homotopian laajennusominaisuus
Hulkkonen, Joonatan (2026)
2026
Matematiikan ja tilastollisen data-analyysin maisteriohjelma - Master's Programme in Mathematics and Statistical Data Analytics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2026-06-08
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202606067062
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202606067062
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa esitellään homotopian laajennusominaisuus, joka on algebrallisen topologian tärkeä tulos. Tutkielman lopuksi todetaan, että jokaisella CW-kompleksien parilla on homotopian laajennusominaisuus.
Tutkielma alkaa homotopiateorian peruskäsitteistä, joita määritellään ja todistetaan luvussa yksi. Luvussa käydään läpi homotopiaekvivalenssi ja -inverssi, retraktion ja deformaatioretraktion määritelmät sekä näihin liittyviä tuloksia ja nollahomotooppisuus ja kutistuvuus. Luku huipentuu parien homotopian määritelmään sekä näiden ominaisuuksien todistuksiin.
Luvussa kaksi tarkastellaan topologisten avaruuksien liittämistä toisiinsa topologisen summan avulla. Tätä varten määritellään liitosavaruus. Lisäksi luvussa esitellään kategoriateoriasta pushout-kaavio. Lopuksi todistetaan liitosavaruuksien ominaisuuksia, joita tarvitaan myöhemmin CW-kompleksien kanssa toimiessa, ja määritellään n-solulaajennus.
Tutkielman luku kolme keskittyy CW-komplekseihin. Ne ovat avaruuksia, jotka rakennetaan liimaamalla toisiinsa aliavaruuksia, joita kutsutaan soluiksi. CW tulee sanoista closure-finite ja weak, sillä CW-kompleksi varustetaan niin kutsutulla heikolla topologialla. Luku alkaa CW-kompleksin määritelmästä ja muutamista esimerkeistä. Lisäksi todistetaan, että jokainen CW-kompleksi on Hausdorff-avaruus. Todistetaan myös, että jokainen CW-kompleksin kompakti aliavaruus sisältyy äärelliseen alikompleksiin, ja että jokainen CW kompleksin suljettu solu sisältyy äärelliseen määrään avoimia soluja. CW-kompleksin nimen closure-finite seuraa tästä tuloksesta. Lopuksi todistetaan vielä, että CW-kompleksit ovat yhtenäisiä avaruuksia.
Luvussa neljä esitellään homotopian laajennusominaisuus. Lisäksi todistetaan homotopian laajennusominaisuuteen liittyviä tuloksia, joiden avulla voidaan yhdistää CW-kompleksien käsittely itse homotopian laajennusominaisuuteen. Luvun lopuksi osoitetaan, että jokaisella CW-parilla on homotopian laajennusominaisuus ja esitellään tuloksesta seuraavia hyödyllisiä esimerkkejä.
Tutkielma alkaa homotopiateorian peruskäsitteistä, joita määritellään ja todistetaan luvussa yksi. Luvussa käydään läpi homotopiaekvivalenssi ja -inverssi, retraktion ja deformaatioretraktion määritelmät sekä näihin liittyviä tuloksia ja nollahomotooppisuus ja kutistuvuus. Luku huipentuu parien homotopian määritelmään sekä näiden ominaisuuksien todistuksiin.
Luvussa kaksi tarkastellaan topologisten avaruuksien liittämistä toisiinsa topologisen summan avulla. Tätä varten määritellään liitosavaruus. Lisäksi luvussa esitellään kategoriateoriasta pushout-kaavio. Lopuksi todistetaan liitosavaruuksien ominaisuuksia, joita tarvitaan myöhemmin CW-kompleksien kanssa toimiessa, ja määritellään n-solulaajennus.
Tutkielman luku kolme keskittyy CW-komplekseihin. Ne ovat avaruuksia, jotka rakennetaan liimaamalla toisiinsa aliavaruuksia, joita kutsutaan soluiksi. CW tulee sanoista closure-finite ja weak, sillä CW-kompleksi varustetaan niin kutsutulla heikolla topologialla. Luku alkaa CW-kompleksin määritelmästä ja muutamista esimerkeistä. Lisäksi todistetaan, että jokainen CW-kompleksi on Hausdorff-avaruus. Todistetaan myös, että jokainen CW-kompleksin kompakti aliavaruus sisältyy äärelliseen alikompleksiin, ja että jokainen CW kompleksin suljettu solu sisältyy äärelliseen määrään avoimia soluja. CW-kompleksin nimen closure-finite seuraa tästä tuloksesta. Lopuksi todistetaan vielä, että CW-kompleksit ovat yhtenäisiä avaruuksia.
Luvussa neljä esitellään homotopian laajennusominaisuus. Lisäksi todistetaan homotopian laajennusominaisuuteen liittyviä tuloksia, joiden avulla voidaan yhdistää CW-kompleksien käsittely itse homotopian laajennusominaisuuteen. Luvun lopuksi osoitetaan, että jokaisella CW-parilla on homotopian laajennusominaisuus ja esitellään tuloksesta seuraavia hyödyllisiä esimerkkejä.