Harmonisten funktioiden invarianssiominaisuudet ja keskiarvo-ominaisuus

Ruhanen, Jukka (2026)
 
Avaa tiedosto
Lataukset: 



Ruhanen, Jukka
2026

Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Engineering and Natural Sciences
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2026-06-02
Näytä kaikki kuvailutiedot
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202606016733
Tiivistelmä
Tässä kandidaatintutkielmassa tarkastellaan harmonisten funktioiden keskeisiä perusominaisuuksia kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Tavoitteena on muodostaa matemaattisesti täsmällinen tarkastelu harmonisten funktioiden teoriasta. Tutkielman alussa esitellään teorian kannalta välttämättömät esitiedot, merkinnät ja määritelmät, kuten myös harmonisen funktion käsite.

Esitietojen jälkeen keskitytään tarkastelemaan harmonisten funktioiden ominaisuuksia. Työssä käydään läpi harmonisten funktioiden invarianssiominaisuuksia, joihin kuuluu harmonisuuden säilyminen funktioiden summien, skalaarilla kertomisen, siirtojen, skaalausten ja kiertojen suhteen. Kyseiset ominaisuudet esitellään ja todistetaan yksityiskohtaisesti hyödyntämällä muun muassa osittaisderivaattojen ominaisuuksia.

Lopuksi tarkastellaan harmonisten funktioiden keskiarvo-ominaisuutta, joka luo yhteyden tietyn pisteen funktion arvon ja sitä ympäröivien funktion arvojen keskiarvon välille. Ominaisuudesta esitellään ja johdetaan pallon pintaan liittyvä pinta-alaversio ja koko pallon tilavuuteen liittyvä tilavuusversio.
Kokoelmat