Analogisen PI-säätimen parametrien LQ-optimointi Gauss–Newton-algoritmilla

Abstract

PI- ja PID-säätimet ovat yksiä teollisuuden käytetyimpiä takaisinkytkettyjen säätöpiirien ratkaisuja. Säätimet auttavat pitämään prosessisuureita halutuissa asetusarvoissa, mutta ne vaativat kunnollisen virittämisen hyödyllisyyden maksimoimiseksi. Virittämismenetelmiä on runsaasti, joten on tärkeää osata valita se tarkoituksenmukaisesti järjestelmän prosessista riippuen. Tässä työssä tutkitaan PI-säätimen parametrien LQ-optimointia Gauss–Newton-algoritmilla. Menetelmän tarkoitus on etsiä säätövirheen kustannuksen lokaali minimi, jolloin optimaaliset parametriarvot on löydetty. Säätövirheen suuruuden laskemiseen käytettävä kustannuskriteeri on ISE, ja algoritmin tarkastelu tehdään taajuustasossa Laplace-muuttujan s avulla. Työn tarkoitus on selvittää, onnistuuko säätimen optimointi kyseisellä menetelmällä ja käytettävällä kustannusfunktiolla. Toinen tavoite on selvittää tutkimustavan suorituskykyä sekä mahdolliset ongelmatilanteet ja puutteet. Algoritmin alkuarvojen lähtökohtana, toleranssirajojen selvittämisessä sekä sen suorituskyvyn vertailussa käytetään MATLAB:n fminsearch-funktiota. Algoritmi hyödyntää ensimmäisen asteen osittaisderivaattoja, kun taas fminsearch-funktio tarvitsee toimiakseen pelkästään säätövirheen kustannuksen. Tulosten arvosteluperiaatteena käytettiin menetelmien konvergenssinopeutta, kustannuksen suuruutta ja optimoitujen parametrien arvoja. Aluksi luotiin taulukko, johon listattiin edellä mainitut suureet erilaisilla alkuarvoilla. Konvergenssinopeutta mitattiin menetelmien vaatimien iteraatioiden määrällä. Mikäli lähtöarvot kuuluivat stabiilille alueelle, molemmat menetelmät päätyivät lopulta samoihin optimeihin parametriarvoihin. On kuitenkin tärkeää huomioida, että GN-algoritmin konvergenssi tarvitsi puolet vähemmän iteraatioita kuin fminsearch. Seuraavaksi piirrettiin kaksi kuvaajaa useilla parametrien arvoilla, joiden avulla mallinnettiin algoritmin konvergenssia sekä säätöpiirin askelvastetta. Konvergenssikuvaaja osoitti, että algoritmi löytää heti iteraatioiden alussa laskeutuvan hakusuunnan kohti lokaalia minimiä. Askelvastekuvaaja vahvisti parametrien olevan optimaaliset, koska niillä oli nopein sekä tasaisin vaste muihin arvoihin verrattuna. Tuloksia tutkimalla huomattiin algoritmin vaatimien osittaisderivaattojen hyödyllisyys. Tuloksista voitiin myös todeta, että algoritmin löytämä ratkaisu on lokaalisti optimaalinen. Jatkokehitysmahdollisuuksia on lukuisia. Askelpituuden määrittämisen lisääminen algoritmiin estäisi sitä tekemästä liian suuria harppauksia ja mahdollisesti päätymästä epästabiilille alueelle. Suorituskykyä voitaisiin tutkia syvemmin, jos optimoitavia parametreja olisi useampi tai käytettävä kustannuskriteeri olisi jokin muu kuin ISE. Algoritmin kokeilu monimutkaisemmilla tai osittain tuntemattomilla prosesseilla antaisi laajemman ymmärryksen sen toiminnallisuudesta.