Dirichlet'n tulo aritmeettisten funktioiden laskutoimituksena

Abstract

Tutkielma käsittelee Dirichlet’n tuloa, joka on aritmeettisille funktioille määritelty laskutoimitus. Työn tavoitteena on, että lukija tutkielman luettuaan ymmärtää aritmeettisten funktioiden alkeiden teorian siten, että pystyy tutkielman pohjalta syventymään aiheeseen itsenäisesti. Aihe on lukuteoreettinen, mutta työssä tarkastellaan Dirichlet’n tuloa myös algebrallisesta näkökulmasta. Tämän takia lukijalta oletetaan ymmärrystä lukuteoriasta ja abstraktista algebrasta. Esitetietoja tutkielma ei sisällä, vaan tarvittaviin tuloksiin viitataan.

Luvussa 2 esitellään aritmeettiset funktiot ja niiden tavanomaiset laskutoimitukset. Tämän jälkeen käsitellään Dirichlet’n tuloa. Päätuloksena luvussa osoitetaan kaikkien aritmeettisten funktioiden joukko renkaaksi varustettuna funktioiden tavanomaisella summalla ja Dirichlet’n tulolla. Lisäksi osoitetaan Möbiuksen käänteiskaava, joka on helposti todistettava, kuitenkin merkittävä aritmeettisten funktioiden alkeisteorian tulos.

Luvussa 3 Dirichlet’n tuloa tarkastellaan aritmeettisilla funktioilla, jotka ovat multiplikatiivisia. Kaikkien multiplikatiivisten funktioiden joukon varustettuna Dirichlet’n tulolla osoitetaan olevan Abelin ryhmä. Lisäksi luvussa tarkastellaan täydellisesti multiplikatiivisia funktioita ja niiden ominaisuuksia.