Katsaus algebralliseen topologiaan: Perusryhmä ja topologiset ominaisuudet

Abstract

Algebrallinen topologia on 1800-luvun loppupuolella syntynyt matematiikan ala, jonka tutkimuksessa hyödynnetään algebran työkaluja topologisten avaruuksien ominaisuuksien tarkastelussa. Tämän kandidaatintyön tarkoitus on antaa lukijalle perusteet algebrallisen topologian ymmärtämiseen ja esitellä erilaisia topologisia ominaisuuksia. Pääosa tutkielmasta johtaa perusryhmän määrittelyyn. Työn loppuosassa perusryhmän rakenne osoitetaan polkuyhtenäisen avaruuden topologiseksi ominaisuudeksi.

Työn alussa esitellään topologian määritelmä ja käydään läpi topologian perusteita, kuten avoimiin ja suljettuihin joukkoihin liittyviä lauseita. Näiden avulla esitellään topologian määritelmään perustuvia todistuksia ja yleistetään euklidisista avaruuksista tuttuja käsitteitä. Lukijalle esitellään myös tuloavaruuden käsite, jota hyödynnetään myöhemmin homotopioita tarkastellessa.

Kolmannessa luvussa määritellään kuvauksen jatkuvuuden käsite topologisissa avaruuksissa. Jatkuvien kuvausten teorian rakentamisen jälkeen topologisen avaruuden polut määritellään jatkuvina kuvauksina yksikköväliltä [0, 1] tarkasteltavaan topologiseen avaruuteen. Tällöin polkujen tarkastelussa voidaan hyödyntää yhdistettyjen ja paloittain määriteltyjen kuvausten ominaisuuksia. Lukijalle esitellään yhtenäisyyden ja polkuyhtenäisyyden käsitteet, jonka jälkeen määritellään homeomorfismi kahden topologisen avaruuden välillä. Luvun lopussa käydään läpi topologisen ominaisuuden määritelmä ja osoitetaan, että polkuyhtenäisyys on invariantti homeomorfismien suhteen.

Neljännessä luvussa määritellään homotopia kuvausten välille. Sen jälkeen muodostetaan topologisen avaruuden kiinnitetyn kantapisteen homotooppisten suljettujen polkujen välille ekvivalenssirelaatio, jonka mukaan ne voidaan ositella homotopialuokkiin. Todistetaan, että näiden homotopialuokkien joukko muodostaa ryhmän, kun se varustetaan sopivalla binäärioperaatiolla. Tätä ryhmää kutsutaan topologisen avaruuden perusryhmäksi. Viimeiseksi todistetaan, että homeomorfisten polkuyhtenäisten topologisten avaruuksien perusryhmät ovat isomorfiset.