Äärellisulotteisen lineaarisen aikainvariantin systeemin siirtofunktio

Abstract

Differentiaali- ja osittaisdifferentiaaliyhtälöistä koostuvilla systeemeillä voidaan kuvata monia tekniikassa ja tieteessä esiintyviä ilmiöitä, kuten esimerkiksi virtapiirejä tai biologisia systeemejä. Usein näiden systeemien käyttäytymiseen voidaan vaikuttaa ohjauksella ja sen toiminnasta saadaan tietoa mittauksella. Tällaisia systeemejä voidaan kuvata siirtofunktion avulla, joka kuvaa systeemin sisään- ja ulostulojen suhdetta taajuustasossa. Siirtofunktion avulla voidaan suunnitella systeemejä sekä tarkastella niiden stabiilisuutta. Tässä työssä rajoittaudutaan äärellisulotteisten jatkuva-aikaisten LTI-systeemien eli lineaaristen aikainvarianttien systeemien tarkasteluun.

Tämän kandidaatintutkielman tavoite on tarkastella kahta eri siirtofunktion määritelmää sekä tarjota tarvittavat esitiedot, jotta niitä voidaan vertailla tarkasti. Tutkielmassa kuitenkin oletetaan lukijalta perusopintojen tasoiset matemaattiset esitiedot. Molempien määritelmien tapauksessa aloitetaan tarkastelemalla systeemin tilaesitystä. Laplace-muunnoksiin perustuvan määritelmän tapauksessa muunnetaan tilaesitysmuoto taajuustasoon Laplace-muunnoksen avulla ja tarkastellaan, miten ulostulot riippuvat sisääntuloista. Toinen määritelmä taas perustuu differentiaaliyhtälöryhmiin sekä eksponentiaalisten ratkaisujen käsitteeseen. Jotta differentiaaliyhtälöryhmä voidaan ratkaista, tarvitaan myös eksponenttimatriisien määritelmää sekä niihin liittyviä tuloksia.

Kahden eri siirtofunktion vertailussa huomataan määritelmien olevan pääpiirteittäin samat. Molempien määritelmien tapauksessa siirtofunktiot voidaan esittää samalla kaavalla, jonka muuttujat saadaan systeemin tilaesityksestä. Suurimpana erona siirtofunktioiden määritelmien välillä on niiden määrittelyalueet. Laplace-muunnoksiin perustuvassa määritelmässä määrittelyalueeksi saadaan mikä tahansa sellainen oikea puolitaso, joka ei sisällä ollenkaan tilamatriisin ominaisarvoja. Eksponentiaalisiin ratkaisuihin perustuvassa määritelmässä taas saadaan määrittelyalueeksi tilamatriisin resolventti eli koko kompleksitaso, josta on poistettu tilamatriisin ominaisarvot