Kokonaisalueen jakokunta
Lehto, Roni (2025)
2025
Matematiikan ja tilastollisen data-analyysin kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Mathematics and Statistical Data Analysis
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2025-06-02
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202506026530
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202506026530
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa käsitellään abstraktin algebran rakenteita, jotka mahdollistavat koulumatematiikastakin tuttujen lukujoukkojen syvällisemmän luonnehdinnan. Tarkasteluissa päädytään kokonaisalueen jakokuntaan, jonka avulla voidaan kuvata esimerkiksi rationaalilukujen joukon muodostamista kokonaisluvuista. Vaikka lukijalta oletetaan perustuntemusta yliopistotasoisesta algebrasta, tutkielmassa käydään läpi vaaditut esitiedot esimerkkeineen.
Tutkielman toinen luku pohjustaa tulevaa esittelemällä tarvittuja algebrallisia määritelmiä ja lauseita, alkaen laskutoimituksen eli binäärioperaation määritelmästä ja edeten ryhmiin ja renkaisiin. Määritelmiä tarvitaan jäljempänä monimutkaisempien rakenteiden esittelyyn ja niiden ominaisuuksien todistamiseen.
Kolmas luku alalukuineen esittelee tutkielman varsinaiset aiheet, eli kokonaisalueet ja niille muodostettavat jakokunnat. Alaluvuissa on annettu esimerkkejä kustakin rakenteesta. Ensimmäisessä alaluvussa esitellään kokonaisalueen ja kunnan määritelmät, osoittaen kaikki kunnat kokonaisalueiksi ja todistaen kokonaisalueissa käytettävissä olevat supistussäännöt.
Kolmannen luvun toisessa alaluvussa siirrytään rationaalilukujen luonnehdinnan kautta muodostamaan kokonaisalueen jakokuntaa. Tätä varten luvussa samaistetaan samansuuruiset rationaaliluvut ekvivalenssirelaatiolla ja tutkitaan sen määräämiä ekvivalenssiluokkia, mistä päästään jakokuntaan laskutoimituksineen. Lopuksi alaluvussa osoitetaan kokonaisalueiden ja jakokuntien isomorfinen yhteys.
Tutkielman viimeisessä alaluvussa sovelletaan jakokuntateoriaa polynomirenkaille. Alaluvussa esitellään lopulta rationaalifunktioiden kunta yli annetun muuttujan ja kokeillaan rationaalilausekkeiden sieventämistä sellaisessa. Vaaditut esitiedot polynomirenkaista esitellään myös samaisessa alaluvussa.
Tutkielman toinen luku pohjustaa tulevaa esittelemällä tarvittuja algebrallisia määritelmiä ja lauseita, alkaen laskutoimituksen eli binäärioperaation määritelmästä ja edeten ryhmiin ja renkaisiin. Määritelmiä tarvitaan jäljempänä monimutkaisempien rakenteiden esittelyyn ja niiden ominaisuuksien todistamiseen.
Kolmas luku alalukuineen esittelee tutkielman varsinaiset aiheet, eli kokonaisalueet ja niille muodostettavat jakokunnat. Alaluvuissa on annettu esimerkkejä kustakin rakenteesta. Ensimmäisessä alaluvussa esitellään kokonaisalueen ja kunnan määritelmät, osoittaen kaikki kunnat kokonaisalueiksi ja todistaen kokonaisalueissa käytettävissä olevat supistussäännöt.
Kolmannen luvun toisessa alaluvussa siirrytään rationaalilukujen luonnehdinnan kautta muodostamaan kokonaisalueen jakokuntaa. Tätä varten luvussa samaistetaan samansuuruiset rationaaliluvut ekvivalenssirelaatiolla ja tutkitaan sen määräämiä ekvivalenssiluokkia, mistä päästään jakokuntaan laskutoimituksineen. Lopuksi alaluvussa osoitetaan kokonaisalueiden ja jakokuntien isomorfinen yhteys.
Tutkielman viimeisessä alaluvussa sovelletaan jakokuntateoriaa polynomirenkaille. Alaluvussa esitellään lopulta rationaalifunktioiden kunta yli annetun muuttujan ja kokeillaan rationaalilausekkeiden sieventämistä sellaisessa. Vaaditut esitiedot polynomirenkaista esitellään myös samaisessa alaluvussa.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [10747]