Käyrien differentiaaligeometriaa : Frenet–Serret-yhtälöiden johtaminen

Abstract

Differentiaaligeometriassa käsitellään euklidisen avaruuden käyriä ja pintoja. Tässä työssä keskitytään differentiaaligeometrian teorian alkupäähän käsittelemällä käyriä kolmessa ulottuvuudessa havainnollistamaan differentiaaligeometrialle keskeiset Frenet--Serret-yhtälöt.

Teorian käsittely alkaa pohjatiedoista vektoreiden perusominaisuuksista. Tutkielmassa keskitytään vektoreiden välisten operaatioiden, kuten skalaaritulon ja ristitulon, ominaisuuksiin, joita käytetään johtamaan myöhemmässä vaiheessa olennaisia tuloksia.

Käsittely jatkuu reaalimuuttujan vektorifunktioiden ja käyrien määrittelemisestä. Tässä työssä tutkitaan yksinkertaisuuden kannalta sileitä käyriä, joiden ominaisuudet takaavat derivaattojen olemassaolon käyriä differentioidessa. Työssä esitetään kaarenpituus ja luonnollinen esitys, josta saatu luonnollinen parametri yksinkertaistaa kaarevuuden ja torsion johtamista.

Kaarevuus ja torsio esitellään yhteydessä yksikkötangenttivektorin, yksikkönormaalivektorin ja yksikköbinormaalivektorin kanssa. Ensin luonnollisen parametrisoinnin suhteen ja sitten mielivaltaisen parametrin $t$ suhteen. Kaarevuutta ja torsiota havainnollistetaan laskemalla ruuvikäyrälle kaarevuus sekä torsio.

Lopuksi tutkielmassa johdetaan näiden esiteltyjen pohjatietojen avulla Frenet--Serret-yhtälöt. Nämä yhtälöt ovat tärkeitä käyrien tutkimisessa ja hyödyntämisessä käytännön tilanteissa. Tutkielmassa käytetty päälähde Martin M. Lipschutzin kirja Schaum's outline of theory and problems of differential geometry painottaa yhtälöiden tärkeyttä kehottamalla lukijaa muistamaan yhtälöt ulkoa.